Номер 299, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 299, страница 58.

Условие 2023.

299. Через точку А, лежащую вне окружности с центром в точке О, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а вторая проходит через её центр (рис. 99). Известно, что $\cup B M C = 100^{\circ}$. Найдите $\angle B A C$.

Рис. 99

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. В данной задаче $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, а $OB$ — радиус, проведенный к этой точке. Следовательно, $OB \perp AB$, и треугольник $ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

$\angle ABO = 90^\circ$

Угол $BOC$ — это центральный угол, который опирается на дугу $BMC$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. По условию, градусная мера дуги $BMC$ равна $100^\circ$.

$m(\cup BMC) = 100^\circ$

Таким образом, $\angle BOC = 100^\circ$.

Согласно условию, прямая $AC$ проходит через центр окружности $O$. Это означает, что точки $A$, $O$, и $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, углы $AOB$ и $BOC$ являются смежными, и их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Из этого соотношения мы можем найти величину угла $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $ABO$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. В треугольнике $ABO$ острыми углами являются $\angle BAO$ и $\angle AOB$.

$\angle BAO + \angle AOB = 90^\circ$

Подставим известное значение угла $AOB$ в это уравнение:

$\angle BAO + 80^\circ = 90^\circ$

Отсюда находим угол $BAO$:

$\angle BAO = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$

Поскольку искомый угол $\angle BAC$ и найденный угол $\angle BAO$ — это один и тот же угол, то $\angle BAC = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.

Условие 2015-2022.

299. Через точку A, лежащую вне окружности с центром в точке O, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а вторая проходит через её центр (рис. 99). Известно, что $\stackrel{\frown}{BMC} = 100^{\circ}$. Найдите $\angle BAC$.

Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).