Номер 295, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 295, страница 58.

Условие 2023.

295. Острый угол прямоугольного треугольника равен $32^\circ$. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если гипотенуза данного треугольника равна $12 \text{ см}$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его углы $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Пусть $\angle C = 90^\circ$ — прямой угол, а $\angle A = 32^\circ$ — данный острый угол. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому второй острый угол $\angle B$ равен:

$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$

Градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность

Величина вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера дуги вдвое больше вписанного угла. Вершины треугольника делят окружность на три дуги, каждая из которых стягивается одной из сторон треугольника и находится напротив соответствующего угла.

1. Дуга, стягиваемая катетом, лежащим напротив угла в $32^\circ$, имеет меру: $2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$.

2. Дуга, стягиваемая катетом, лежащим напротив угла в $58^\circ$, имеет меру: $2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$.

3. Дуга, стягиваемая гипотенузой, лежащей напротив прямого угла в $90^\circ$, имеет меру: $2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.

Проверка: сумма дуг составляет полную окружность $64^\circ + 116^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: градусные меры дуг равны $64^\circ$, $116^\circ$ и $180^\circ$.

Радиус этой окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Таким образом, радиус $R$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы $c$.

По условию, гипотенуза $c = 12$ см. Найдем радиус:

$R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: радиус окружности равен 6 см.

Условие 2015-2022.

295. Острый угол прямоугольного треугольника равен $32^\circ$. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если гипотенуза данного треугольника равна 12 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).