Номер 291, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 291, страница 58.

Условие 2023.

291. Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и две равные дуги этой окружности: $\cup AB = \cup CD$. Хорда $AB$ стягивает дугу $AB$, а хорда $CD$ стягивает дугу $CD$. Требуется доказать, что хорды $AB$ и $CD$ равны.

Для доказательства соединим концы дуг с центром окружности $O$. Рассмотрим получившиеся треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

В этих треугольниках стороны $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны между собой: $OA = OB = OC = OD$.

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Так как по условию дуги равны ($\cup AB = \cup CD$), то и соответствующие им центральные углы равны: $\angle AOB = \angle COD$.

Теперь сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Мы имеем:

1. $OA = OC$ (как радиусы одной окружности).
2. $OB = OD$ (как радиусы одной окружности).
3. $\angle AOB = \angle COD$ (как центральные углы, опирающиеся на равные дуги).

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle AOB$ соответствует стороне $CD$ в $\triangle COD$. Таким образом, $AB = CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Условие 2015-2022.

291. Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).