Номер 293, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 293, страница 58.

Условие 2023.

293. Вершины равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$) делят описанную около него окружность на три дуги, причём $\stackrel{\frown}{AB} = 70^\circ$. Найдите углы треугольника ABC.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, так как $AB = BC$. Треугольник вписан в окружность.

В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поскольку стороны (хорды) $AB$ и $BC$ равны, то и дуги, которые они стягивают, также равны:

$\text{◡}AB = \text{◡}BC$

Из условия известно, что $\text{◡}AB = 70^{\circ}$. Следовательно, $\text{◡}BC = 70^{\circ}$.

Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^{\circ}$. Вершины треугольника делят окружность на три дуги: $\text{◡}AB$, $\text{◡}BC$ и $\text{◡}AC$. Найдем градусную меру дуги $AC$:

$\text{◡}AC = 360^{\circ} - (\text{◡}AB + \text{◡}BC) = 360^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 360^{\circ} - 140^{\circ} = 220^{\circ}$.

Углы треугольника $ABC$ являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Найдем углы треугольника:

• Угол $\angle BCA$ (или $\angle C$) опирается на дугу $AB$.
  $\angle BCA = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}AB = \frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} = 35^{\circ}$.
• Угол $\angle BAC$ (или $\angle A$) опирается на дугу $BC$.
  $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}BC = \frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} = 35^{\circ}$.
• Угол $\angle ABC$ (или $\angle B$) опирается на дугу $AC$.
  $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}AC = \frac{1}{2} \cdot 220^{\circ} = 110^{\circ}$.

Проверим, что сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$:

$35^{\circ} + 35^{\circ} + 110^{\circ} = 180^{\circ}$.

Ответ: $35^{\circ}$, $110^{\circ}$, $35^{\circ}$.

Условие 2015-2022.

293. Вершины равнобедренного треугольника ABC ($AB = BC$) делят описанную около него окружность на три дуги, причём $UAB = 70^\circ$. Найдите углы треугольника ABC.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).