Номер 294, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 294, страница 58.

Условие 2023.

294. Концы диаметров $AC$ и $BD$ окружности последовательно соединены так, что образовался четырёхугольник $ABCD$.

1) Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

2) Найдите $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{BC}$, $\overset{\frown}{CD}$ и $\overset{\frown}{AD}$, если $\angle ABD = 80^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) Определите вид четырёхугольника ABCD.
Пусть $O$ - центр окружности. Так как отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами окружности, они проходят через центр $O$ и равны по длине ($AC = BD = 2R$, где $R$ - радиус окружности). Точка $O$ также является серединой каждого из диаметров, то есть $AO = OC = R$ и $BO = OD = R$.
Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Согласно признаку параллелограмма, четырёхугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.
Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм. Поскольку его диагонали равны ($AC = BD$), этот параллелограмм является прямоугольником.
Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольником.

2) Найдите ◡AB, ◡BC, ◡CD и ◡AD, если ∠ABD = 80°.
Величина вписанного угла в окружность равна половине величины дуги, на которую этот угол опирается. Угол $\angle ABD$ является вписанным и опирается на дугу $AD$. Следовательно, градусная мера дуги $AD$ равна удвоенной величине угла $\angle ABD$:
$ \text{◡}AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ $.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны ($AD = BC$ и $AB = CD$). В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поэтому $\text{◡}BC = \text{◡}AD$ и $\text{◡}CD = \text{◡}AB$.
Следовательно, $ \text{◡}BC = 160^\circ $.
Поскольку $BD$ является диаметром, он делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Дуга $BAD$ является одной из таких полуокружностей, и её величина равна сумме величин дуг $AB$ и $AD$:
$ \text{◡}BAD = \text{◡}AB + \text{◡}AD = 180^\circ $.
Из этого равенства мы можем найти величину дуги $AB$:
$ \text{◡}AB = 180^\circ - \text{◡}AD = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ $.
Так как $ \text{◡}CD = \text{◡}AB $, то $ \text{◡}CD = 20^\circ $.
Ответ: $ \text{◡}AB = 20^\circ $, $ \text{◡}BC = 160^\circ $, $ \text{◡}CD = 20^\circ $, $ \text{◡}AD = 160^\circ $.

Условие 2015-2022.

294. Концы диаметров AC и BD окружности последовательно соединены так, что образовался четырёхугольник $ABCD$.

1) Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

2) Найдите $\arc{AB}$, $\arc{BC}$, $\arc{CD}$ и $\arc{AD}$, если $\angle ABD = 80^{\circ}$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).