Номер 300, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 300, страница 58.

Условие 2023.

300. Биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $D$. Найдите углы треугольника $ADC$, если $\angle ABC = 80^{\circ}$.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, треугольник $ABC$ вписан в окружность, а $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Известно, что $\angle ABC = 80^\circ$.

Так как $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, она делит этот угол на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$.

Для нахождения углов треугольника $ADC$ воспользуемся свойством вписанных в окружность углов: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

$\angle DAC$

Углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $DC$. Следовательно, они равны:

$\angle DAC = \angle DBC = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$

$\angle ACD$

Углы $\angle ACD$ и $\angle ABD$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, они равны:

$\angle ACD = \angle ABD = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$

$\angle ADC$

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle ABC = 80^\circ$:

$\angle ADC + 80^\circ = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Также этот угол можно найти из суммы углов треугольника $ADC$, зная два других угла:

$\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle ACD) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Ответ: $100^\circ$

Условие 2015-2022.

300. Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке D. Найдите углы треугольника ADC, если $\angle ABC = 80^\circ$.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).