Номер 306, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 306, страница 59.

Условие 2023.

306. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $56^{\circ}$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Угол при вершине $B$ равен $∠B = 56°$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:$∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 56°) / 2 = 124° / 2 = 62°$.

На боковой стороне $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Пусть эта полуокружность пересекает другую боковую сторону $BC$ в точке $D$, а основание $AC$ в точке $E$. Таким образом, полуокружность делится на три дуги: дуга $AD'$, дуга $D'E'$ и дуга $E'B$. Для удобства обозначим их как $\cup AE$, $\cup ED$ и $\cup DB$. Нам нужно найти градусные меры этих дуг.

1. Найдем градусную меру дуги $DB$.

Точка $D$ лежит на полуокружности с диаметром $AB$. По свойству угла, опирающегося на диаметр, угол $∠ADB$ является прямым, то есть $∠ADB = 90°$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. В нем известен угол $∠ABD$, который совпадает с углом $∠B$ треугольника $ABC$, то есть $∠ABD = 56°$.Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$, следовательно:$∠DAB = 90° - ∠ABD = 90° - 56° = 34°$.Угол $∠DAB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $DB$. Градусная мера дуги равна удвоенной мере вписанного угла, который на нее опирается:$\cup DB = 2 \cdot ∠DAB = 2 \cdot 34° = 68°$.

2. Найдем градусную меру дуги $AE$.

Аналогично, точка $E$ лежит на полуокружности с диаметром $AB$. Следовательно, угол $∠AEB$, опирающийся на диаметр, равен $90°$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEB$. В нем известен угол $∠BAE$, который совпадает с углом $∠A$ треугольника $ABC$, то есть $∠BAE = 62°$.Найдем второй острый угол этого треугольника:$∠ABE = 90° - ∠BAE = 90° - 62° = 28°$.Угол $∠ABE$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AE$.$\cup AE = 2 \cdot ∠ABE = 2 \cdot 28° = 56°$.

3. Найдем градусную меру дуги $ED$.

Вся полуокружность имеет градусную меру $180°$. Она состоит из трех найденных дуг:$\cup AE + \cup ED + \cup DB = 180°$.Отсюда можем найти градусную меру дуги $ED$:$\cup ED = 180° - \cup AE - \cup DB = 180° - 56° - 68° = 180° - 124° = 56°$.

Таким образом, градусные меры образовавшихся дуг равны $56°$, $56°$ и $68°$.

Ответ: $56°, 56°, 68°$.

Условие 2015-2022.

306. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $56^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).