Номер 302, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 302, страница 59.

Условие 2023.

302. Окружность, построенная на стороне $AB$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что отрезки $AK$ и $BM$ – высоты треугольника $ABC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, окружность построена на стороне $AB$ треугольника $ABC$ как на диаметре. Точки $M$ и $K$ — это точки пересечения данной окружности со сторонами $AC$ и $BC$ соответственно.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойством вписанного угла, который опирается на диаметр окружности. Величина такого угла всегда равна $90^\circ$.

1. Рассмотрим угол $\angle AKB$. Его вершины $A$ и $B$ являются концами диаметра окружности, а вершина $K$ лежит на этой окружности (так как $K$ — точка пересечения окружности со стороной $BC$). Следовательно, угол $\angle AKB$ является вписанным и опирается на диаметр $AB$.

Исходя из вышеупомянутого свойства, $\angle AKB = 90^\circ$.

Это означает, что отрезок $AK$ перпендикулярен стороне $BC$. По определению, отрезок, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне и перпендикулярный ей, является высотой. Таким образом, $AK$ — высота треугольника $ABC$.

2. Аналогично рассмотрим угол $\angle AMB$. Его вершины $A$ и $B$ также являются концами диаметра, а вершина $M$ лежит на окружности. Следовательно, угол $\angle AMB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB$.

Отсюда следует, что $\angle AMB = 90^\circ$.

Это означает, что отрезок $BM$ перпендикулярен стороне $AC$. Таким образом, $BM$ также является высотой треугольника $ABC$.

Мы доказали, что $AK \perp BC$ и $BM \perp AC$, следовательно, отрезки $AK$ и $BM$ являются высотами треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как вписанные углы $\angle AKB$ и $\angle AMB$ опираются на диаметр $AB$, они оба равны $90^\circ$. Это означает, что $AK \perp BC$ и $BM \perp AC$, и, следовательно, отрезки $AK$ и $BM$ являются высотами треугольника $ABC$.

Условие 2015-2022.

302. Окружность, построенная на стороне $AB$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что отрезки $AK$ и $BM$ — высоты треугольника $ABC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).