Номер 308, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 308, страница 59.

Условие 2023.

308. Дана окружность, в которой проведён диаметр $AB$, и отмечена точка $C$ вне окружности (рис. 100). Как, пользуясь только линейкой, провести через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$?

Рис. 100

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Построение

Чтобы провести через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$, используя только линейку, нужно выполнить следующие шаги:
1. Соединить точку $C$ с точкой $A$ при помощи линейки. Прямая $AC$ пересечет окружность в еще одной точке, которую назовем $D$.
2. Соединить точку $C$ с точкой $B$. Прямая $BC$ пересечет окружность в еще одной точке, которую назовем $E$.
3. Провести прямую через точки $A$ и $E$.
4. Провести прямую через точки $B$ и $D$.
5. Найти точку пересечения прямых $AE$ и $BD$. Обозначим эту точку как $H$.
6. Провести прямую через точки $C$ и $H$.
Прямая $CH$ является искомым перпендикуляром к прямой $AB$.

Обоснование

Данное построение основано на свойстве ортоцентра треугольника. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$.

Угол $\angle AEB$ является вписанным в окружность и опирается на ее диаметр $AB$. По свойству такого угла, он является прямым: $\angle AEB = 90^\circ$. Это означает, что прямая $AE$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AE \perp BC$). Таким образом, $AE$ — это высота треугольника $\triangle ABC$, опущенная из вершины $A$.

Аналогично, угол $\angle ADB$ также является вписанным и опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle ADB = 90^\circ$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$ ($BD \perp AC$). Таким образом, $BD$ — это высота треугольника $\triangle ABC$, опущенная из вершины $B$.

Точка $H$ по построению является точкой пересечения прямых $AE$ и $BD$, которые являются высотами треугольника $\triangle ABC$. Точка пересечения высот треугольника называется его ортоцентром. Следовательно, $H$ — ортоцентр $\triangle ABC$.

Известно, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Значит, третья высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, также проходит через ортоцентр $H$. Следовательно, прямая $CH$ является высотой треугольника, проведенной к стороне $AB$, и по определению высоты $CH \perp AB$.

Ответ: Необходимо последовательно построить: 1) прямые $AC$ и $BC$ до их пересечения с окружностью в точках $D$ и $E$ (отличных от $A$ и $B$); 2) прямые $AE$ и $BD$, которые пересекутся в точке $H$; 3) искомую прямую $CH$, которая будет перпендикулярна прямой $AB$.

Условие 2015-2022.

308. Дана окружность, в которой проведён диаметр $AB$, и отмечена точка $C$ вне окружности (рис. 100). Как, пользуясь только линейкой, провести через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$?

Рис. 100

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).