Номер 314, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 314, страница 60.

Условие 2023.

314. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Пусть $a$ и $b$ — длины его смежных сторон $AB$ и $BC$ соответственно, а $\alpha$ — угол между его диагоналями $AC$ и $BD$. Диагонали параллелограмма точкой пересечения $O$ делятся пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Для построения параллелограмма достаточно построить треугольник $\triangle ABC$ или найти положение точки пересечения диагоналей $O$ относительно одной из сторон, например, $AB$.

Рассмотрим положение точки $O$ относительно вершин $A$ и $B$.

1. Из условия задачи, угол, под которым виден отрезок $AB$ из точки $O$, равен $\alpha$ (или $180^\circ - \alpha$). Геометрическое место точек (ГМТ), из которых данный отрезок виден под данным углом, есть дуга окружности, проходящей через концы отрезка.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем отрезок $BO$ не является медианой. Однако, если мы возьмем середину $M$ стороны $AB$, то отрезок $MO$ в треугольнике $\triangle ABC$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. По свойству средней линии треугольника, $MO = \frac{1}{2} BC$. Так как по условию $BC=b$, то $MO = b/2$. Это означает, что точка $O$ удалена от середины отрезка $AB$ на расстояние $b/2$. ГМТ таких точек есть окружность с центром в середине $AB$ и радиусом $b/2$.

Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения двух ГМТ: дуги окружности и окружности. Найдя точку $O$, мы можем легко достроить весь параллелограмм.

Построение

1. Построим отрезок $AB$ длиной, равной стороне $a$.
2. Найдем середину $M$ отрезка $AB$ (с помощью циркуля и линейки).
3. Построим окружность $k_1$ с центром в точке $M$ и радиусом $R_1 = b/2$.
4. Теперь построим ГМТ, из которых отрезок $AB$ виден под углом $\alpha$. Это дуга окружности $k_2$. Для этого:
   1. Построим луч $AX$ так, что $\angle BAX = \alpha$.
   2. Проведем через точку $A$ прямую $l$, перпендикулярную лучу $AX$.
   3. Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
   4. Точка $P$, в которой пересекаются прямые $l$ и $m$, является центром искомой окружности $k_2$.
   5. Построим окружность (или соответствующую дугу) $k_2$ с центром в $P$ и радиусом $PA$.
5. Точка пересечения окружности $k_1$ и дуги $k_2$ является искомой точкой $O$. В зависимости от данных, может быть одно, два или ни одного решения. Выберем одну из точек пересечения и обозначим ее $O$.
6. Проведем луч $AO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OC$, равный $AO$.
7. Проведем луч $BO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OD$, равный $BO$.
8. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ по построению пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO = OC$, $BO = OD$).

Проверим, что его параметры соответствуют условию задачи:

• Сторона $AB$ имеет длину $a$ по построению.
• Точка $O$ лежит на дуге $k_2$, следовательно, угол $\angle AOB = \alpha$ по свойству построенного ГМТ.
• Точка $O$ лежит на окружности $k_1$ с центром в $M$ (середине $AB$) и радиусом $b/2$. Значит, $MO = b/2$. В треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $MO$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MO$ — средняя линия, и $BC = 2 \cdot MO = 2 \cdot (b/2) = b$.

Таким образом, построенный параллелограмм $ABCD$ имеет стороны $a$ и $b$ и угол между диагоналями $\alpha$.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность $k_1$ и дуга $k_2$ пересекаются. Число решений зависит от соотношения длин $a, b$ и величины угла $\alpha$.

Пусть $R_1 = b/2$ — радиус окружности $k_1$, а $R_2 = PA = \frac{a}{2 \sin \alpha}$ — радиус окружности, содержащей дугу $k_2$. Расстояние между их центрами $M$ и $P$ равно $d(M,P) = \frac{a}{2} |\cot \alpha|$.

Пересечение существует, если выполняется условие $|R_2 - R_1| \le d(M,P) \le R_2 + R_1$.

В зависимости от выполнения этого условия задача может:

• не иметь решений (окружности не пересекаются);
• иметь одно решение (окружности касаются в одной точке);
• иметь два решения (окружности пересекаются в двух точках).

Две точки пересечения $O_1$ и $O_2$ будут симметричны относительно прямой $AB$, и соответствующие им параллелограммы будут симметричны (конгруэнтны). Также стоит учесть, что угол между диагоналями может быть как $\alpha$, так и $180^\circ - \alpha$, что может дать дополнительные решения.

Ответ: Алгоритм построения параллелограмма, его доказательство и исследование приведены выше.

Условие 2015-2022.

314. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).