Номер 318, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 318, страница 60.

Условие 2023.

318. Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$, соответственно. Докажите, что $A_1B_1 \perp CC_1$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть углы треугольника $ABC$ равны $∠A = \alpha$, $∠B = \beta$ и $∠C = \gamma$. Известно, что сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Биссектриса $AA_1$ угла $A$ делит его на два равных вписанных угла $∠BAA_1$ и $∠CAA_1$, каждый из которых равен $\alpha/2$. Эти углы опираются на дуги $BA_1$ и $CA_1$ соответственно. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусные меры этих дуг равны: $\text{дуга}(BA_1) = 2 \cdot (\alpha/2) = \alpha$ и $\text{дуга}(CA_1) = 2 \cdot (\alpha/2) = \alpha$. Аналогично, биссектриса $BB_1$ отсекает дуги $\text{дуга}(AB_1) = \text{дуга}(CB_1) = \beta$, а биссектриса $CC_1$ отсекает дуги $\text{дуга}(AC_1) = \text{дуга}(BC_1) = \gamma$.

Для доказательства перпендикулярности хорд $A_1B_1$ и $CC_1$ воспользуемся теоремой об угле между пересекающимися хордами. Угол между хордами равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между ними. Для хорд $A_1B_1$ и $CC_1$ такими дугами являются дуги $A_1C$ и $B_1C_1$ (рассматриваем одну из двух пар высекаемых дуг). Из выведенного выше мы знаем, что $\text{дуга}(A_1C) = \alpha$. Дуга $B_1C_1$ состоит из дуг $B_1A$ и $AC_1$ (поскольку точка $A$ лежит на дуге $B_1C_1$). Её градусная мера равна сумме мер составляющих её дуг: $\text{дуга}(B_1C_1) = \text{дуга}(B_1A) + \text{дуга}(AC_1) = \beta + \gamma$.

Сумма градусных мер этих двух дуг составляет: $\text{дуга}(A_1C) + \text{дуга}(B_1C_1) = \alpha + (\beta + \gamma) = \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Угол между хордами $A_1B_1$ и $CC_1$ равен половине этой суммы: $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Таким образом, прямые $A_1B_1$ и $CC_1$ перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

318. Биссектрисы углов $A, B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную около него окружность в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что $A_1B_1 \perp CC_1$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).