Номер 325, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 325, страница 61.

Условие 2023.

325. Клетки квадрата размером $100 \times 100$ клеток раскрашены в шахматном порядке. Квадрат разрезали на квадраты, стороны которых содержат нечётное количество клеток, и в каждом таком квадрате отметили центральную клетку. Докажите, что белых и чёрных клеток отмечено поровну.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства введем систему координат. Пусть клетки большого квадрата $100 \times 100$ пронумерованы парами чисел $(i, j)$, где $1 \le i, j \le 100$. Будем считать, что раскраска шахматная, и цвет клетки зависит от четности суммы ее координат. Присвоим каждой клетке числовое значение: 1 для белых клеток и -1 для черных. Пусть клетка $(i,j)$ белая, если $i+j$ четно, и черная, если $i+j$ нечетно. Тогда значение клетки $(i,j)$ можно определить функцией $c(i,j) = (-1)^{i+j}$.

Сумма значений по всему квадрату

Большой квадрат имеет размеры $100 \times 100$. Общее число клеток равно $100 \times 100 = 10000$. Так как сторона квадрата четная, в нем содержится равное количество белых и черных клеток: $10000 / 2 = 5000$ белых и $5000$ черных. Сумма значений всех клеток на доске равна:$$ \sum_{i=1}^{100} \sum_{j=1}^{100} c(i,j) = 5000 \times (+1) + 5000 \times (-1) = 0 $$

Анализ одного малого квадрата

Рассмотрим один из квадратов, на которые разрезан большой квадрат. Пусть его сторона имеет нечетную длину $n = 2k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$. Такой квадрат содержит $n^2 = (2k+1)^2$ клеток. В любом квадрате с нечетной стороной, раскрашенном в шахматном порядке, число клеток одного цвета на единицу больше числа клеток другого цвета. Преобладающий цвет — это цвет угловых клеток.Пусть левый верхний угол этого малого квадрата находится в клетке с координатами $(x, y)$. Тогда сумма значений $c(i,j)$ по всем клеткам этого малого квадрата $S$ будет равна значению преобладающего цвета, то есть значению угловой клетки. Все угловые клетки в таком квадрате имеют один и тот же цвет, так как их координаты $(x, y)$, $(x+2k, y)$, $(x, y+2k)$, $(x+2k, y+2k)$ имеют суммы с одинаковой четностью. Таким образом, сумма значений по малому квадрату $S$ равна:$$ \sum_{(i,j) \in S} c(i,j) = c(x,y) = (-1)^{x+y} $$

Связь с отмеченными клетками

По условию, в каждом малом квадрате отмечена центральная клетка. Для малого квадрата со стороной $n = 2k+1$ и левым верхним углом в $(x, y)$, центральная клетка имеет координаты $(x+k, y+k)$. Найдем значение этой клетки:$$ c(x+k, y+k) = (-1)^{(x+k)+(y+k)} = (-1)^{x+y+2k} = (-1)^{x+y} $$Это значение совпадает со значением $c(x,y)$ левой верхней угловой клетки. Следовательно, цвет отмеченной центральной клетки совпадает с преобладающим цветом в этом малом квадрате. Сумма значений по малому квадрату $S$ равна значению его отмеченной центральной клетки.

Итоговый вывод

Весь большой квадрат разрезан на малые квадраты $S_1, S_2, \ldots, S_N$. Сумма значений по всем клеткам большого квадрата равна сумме сумм по всем малым квадратам:$$ \sum_{i=1}^{100} \sum_{j=1}^{100} c(i,j) = \sum_{l=1}^{N} \left( \sum_{(i,j) \in S_l} c(i,j) \right) $$Как мы показали, сумма по всему квадрату равна 0, а сумма по каждому малому квадрату $S_l$ равна значению его отмеченной центральной клетки. Обозначим значение отмеченной клетки в квадрате $S_l$ как $c_l^*$. Тогда:$$ 0 = \sum_{l=1}^{N} c_l^* $$Эта сумма представляет собой сумму значений всех отмеченных клеток на доске. Пусть $W_m$ — число отмеченных белых клеток, а $B_m$ — число отмеченных черных клеток. Тогда сумма значений всех отмеченных клеток равна:$$ \sum_{l=1}^{N} c_l^* = W_m \times (+1) + B_m \times (-1) = W_m - B_m $$Так как эта сумма равна нулю, получаем:$$ W_m - B_m = 0 \implies W_m = B_m $$Таким образом, число отмеченных белых клеток равно числу отмеченных черных клеток, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число отмеченных белых и чёрных клеток равно.

Условие 2015-2022.

325. Клетки квадрата размером $100 \times 100$ клеток раскрашены в шахматном порядке. Квадрат разрезали на квадраты, стороны которых содержат нечётное количество клеток, и в каждом таком квадрате отметили центральную клетку. Докажите, что белых и чёрных клеток отмечено поровну.

Решение 2 (2015-2022).