Номер 323, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 323, страница 60.

Условие 2023.

323. К окружности, вписанной в треугольник $ABC$, проведены три касательные (рис. 102). Периметры треугольников, которые эти касательные отсекают от данного треугольника, равны $P_1$, $P_2$ и $P_3$. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Рис. 102

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$ и вписанная в него окружность. Проведены три касательные к этой окружности, которые отсекают от треугольника $ABC$ три меньших треугольника у его вершин. Обозначим периметры этих отсеченных треугольников как $P_1$, $P_2$ и $P_3$. Нам нужно найти периметр треугольника $ABC$, который обозначим как $P_{ABC}$.

Рассмотрим один из отсеченных треугольников, например, у вершины $A$. Пусть касательная пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, у нас есть отсеченный треугольник $AMN$. Его периметр равен $P_1 = AM + AN + MN$.

Пусть вписанная в $\triangle ABC$ окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а новой касательной $MN$ — в точке $T$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$, лежащей на стороне $AB$, отрезки касательных к окружности — это $MK$ и $MT$. Следовательно, $MK = MT$.

Для точки $N$, лежащей на стороне $AC$, отрезки касательных к окружности — это $NL$ и $NT$. Следовательно, $NL = NT$.

Теперь выразим периметр треугольника $AMN$ через эти отрезки:$P_1 = AM + AN + MN = AM + AN + (MT + TN)$

Заменим $MT$ на $MK$ и $TN$ на $NL$:$P_1 = AM + AN + MK + NL$

Сгруппируем слагаемые:$P_1 = (AM + MK) + (AN + NL)$

Сумма $(AM + MK)$ — это длина отрезка $AK$, который является касательной из вершины $A$ к вписанной окружности.Сумма $(AN + NL)$ — это длина отрезка $AL$, который также является касательной из вершины $A$ к вписанной окружности.Таким образом, $P_1 = AK + AL$.

Поскольку $AK$ и $AL$ — это две касательные, проведенные из одной вершины $A$ к вписанной окружности, их длины равны: $AK = AL$.Значит, $P_1 = AK + AK = 2 \cdot AK$.Отсюда мы можем выразить длину отрезка касательной из вершины $A$: $AK = \frac{P_1}{2}$.

Аналогично рассуждая для двух других отсеченных треугольников у вершин $B$ и $C$, мы получим, что длины отрезков касательных от этих вершин до точек касания на соответствующих сторонах равны:

• Длина касательной из вершины $B$ равна $\frac{P_2}{2}$.
• Длина касательной из вершины $C$ равна $\frac{P_3}{2}$.

Периметр исходного треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + CA$.Каждая сторона треугольника $ABC$ состоит из двух отрезков касательных, проведенных из его вершин.

$AB = AK + KB$ (где $AK$ - касательная из $A$, $KB$ - касательная из $B$)$BC = BL + LC$ (где $BL$ - касательная из $B$, $LC$ - касательная из $C$)$CA = CN + NA$ (где $CN$ - касательная из $C$, $NA$ - касательная из $A$)

Используя равенства длин касательных из одной вершины ($AK=NA, KB=BL, LC=CN$), периметр $P_{ABC}$ можно записать как:$P_{ABC} = (AK + KB) + (BL + LC) + (CN + NA) = 2 \cdot (AK + KB + LC)$

Подставим найденные нами выражения для длин отрезков касательных через периметры $P_1, P_2, P_3$:$AK = \frac{P_1}{2}$$KB = \frac{P_2}{2}$$LC = \frac{P_3}{2}$

$P_{ABC} = 2 \cdot \left( \frac{P_1}{2} + \frac{P_2}{2} + \frac{P_3}{2} \right) = 2 \cdot \frac{P_1 + P_2 + P_3}{2} = P_1 + P_2 + P_3$

Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен сумме периметров трех отсеченных треугольников.

Ответ: Периметр треугольника $ABC$ равен $P_1 + P_2 + P_3$.

Условие 2015-2022.

Рис. 102

323. К окружности, вписанной в треугольник $ABC$, проведены три касательные (рис. 102). Периметры треугольников, которые эти касательные отсекают от данного треугольника, равны $P_1$, $P_2$ и $P_3$. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).