Номер 324, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 324, страница 60.

Условие 2023.

324. Установите вид треугольника, у которого центр описанной окружности принадлежит медиане.

Повторите содержание пункта 22 на с. 204.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $ABC$ медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, — это отрезок $AM$, где $M$ является серединой стороны $BC$. Пусть $O$ — центр описанной окружности этого треугольника. По условию задачи, точка $O$ принадлежит медиане $AM$.

Центр описанной окружности $O$ — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника: $OA = OB = OC$.

Из равенства $OB = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ — это прямая, которая проходит через середину этой стороны (точку $M$) и перпендикулярна ей.

Таким образом, мы знаем, что точка $O$ лежит на медиане $AM$ (по условию) и на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Точка $M$ также принадлежит обеим этим линиям (медиане по определению и серединному перпендикуляру, так как она является серединой $BC$).

Следовательно, прямая, содержащая медиану $AM$, и прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к $BC$, проходят через две точки — $O$ и $M$. Это приводит к двум возможным ситуациям:

1. Точки $O$ и $M$ совпадают ($O=M$).

Если центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой стороны $M$, это означает, что середина стороны $BC$ является центром окружности, проходящей через все три вершины. Такое возможно только в том случае, если треугольник $ABC$ — прямоугольный, а сторона $BC$ — его гипотенуза. Угол, противолежащий гипотенузе (угол $A$), равен $90^\circ$. В этом случае медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы ($AM = MB = MC$), и центр описанной окружности $O$ (который и есть точка $M$) действительно лежит на медиане $AM$.

2. Точки $O$ и $M$ — это две разные точки.

Если точки $O$ и $M$ различны, то через них можно провести только одну прямую. Так как обе точки лежат и на прямой, содержащей медиану $AM$, и на серединном перпендикуляре к $BC$, эти две прямые должны совпадать. Это означает, что медиана $AM$ одновременно является и серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Если медиана к стороне является также и высотой (так как она перпендикулярна этой стороне), то треугольник является равнобедренным. В данном случае, поскольку медиана $AM$ перпендикулярна стороне $BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, то есть $AB = AC$.

Таким образом, треугольник, у которого центр описанной окружности принадлежит медиане, является либо равнобедренным, либо прямоугольным.

Ответ: Треугольник является равнобедренным или прямоугольным.

Условие 2015-2022.

324. Установите вид треугольника, у которого центр описанной окружности принадлежит медиане.

Повторите содержание пункта 22 на с. 203.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).