Номер 322, страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 322, страница 60.

Условие 2023.

322. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к другой стороне.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нём известны сторона $BC$, которую обозначим $a$, противолежащий ей угол $\angle BAC = \alpha$ и медиана $BM_b = m_b$, проведённая к стороне $AC$. Точка $M_b$ является серединой стороны $AC$.

Построение основано на методе геометрических мест точек (ГМТ). Найдём два ГМТ для вершины $A$.

1. Первое ГМТ для точки $A$: множество точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Это дуга окружности $\Gamma$, построенная на отрезке $BC$ как на хорде.

2. Второе ГМТ для точки $A$: рассмотрим точку $M_b$ — середину отрезка $AC$. По условию, расстояние от вершины $B$ до точки $M_b$ равно $m_b$. Следовательно, точка $M_b$ лежит на окружности $\Omega$ с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

Связь между точками $A$ и $M_b$ можно выразить через гомотетию (центральное подобие) с центром в точке $C$ и коэффициентом 2. При этой гомотетии точка $M_b$ переходит в точку $A$ (так как $M_b$ — середина $AC$, то $\vec{CA} = 2 \cdot \vec{CM_b}$).

Образ окружности $\Omega$ при гомотетии $H(C, 2)$ будет новой окружностью $\Omega'$.

• Центр окружности $\Omega'$ — это точка $D$, являющаяся образом центра $B$ окружности $\Omega$. Точка $D$ такова, что $\vec{CD} = 2 \cdot \vec{CB}$, то есть точка $B$ является серединой отрезка $CD$.
• Радиус окружности $\Omega'$ будет равен $2 \cdot m_b$.

Таким образом, точка $A$ принадлежит окружности $\Omega'$ с центром в точке $D$ и радиусом $2m_b$.

Искомая вершина $A$ является точкой пересечения двух ГМТ: дуги $\Gamma$ и окружности $\Omega'$.

Построение

Даны отрезки, равные стороне $a$ и медиане $m_b$, и угол, равный $\alpha$.

1. Построим отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Продолжим отрезок $BC$ за точку $B$ и отложим на луче $CB$ отрезок $BD$, равный $BC$. Таким образом, точка $B$ будет серединой отрезка $CD$, и $CD=2a$.
3. Построим окружность $\Omega'$ с центром в точке $D$ и радиусом, равным $2m_b$.
4. Построим геометрическое место точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Для этого:
   1. Построим угол $\angle CBK = \alpha$ с вершиной в точке $B$.
   2. Проведём прямую $l$, перпендикулярную прямой $BK$ в точке $B$.
   3. Построим серединный перпендикуляр $p$ к отрезку $BC$.
   4. Точка $O$, пересечение прямых $l$ и $p$, является центром искомой дуги окружности $\Gamma$.
   5. Построим дугу $\Gamma$ окружности с центром $O$ и радиусом $OB$ (или $OC$).
5. Найдём точку (или точки) $A$ как пересечение дуги $\Gamma$ и окружности $\Omega'$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ по построению. Вершина $A$ лежит на дуге $\Gamma$, построенной на отрезке $BC$, поэтому угол $\angle BAC$ равен заданному углу $\alpha$.

Осталось доказать, что медиана, проведённая из вершины $B$ к стороне $AC$, равна $m_b$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. По построению, точка $B$ является серединой стороны $CD$. Пусть $M_b$ — середина стороны $AC$. Тогда отрезок $BM_b$ является средней линией треугольника $ACD$.

По свойству средней линии, $BM_b = \frac{1}{2} AD$.

Точка $A$ по построению лежит на окружности $\Omega'$ с центром в $D$ и радиусом $2m_b$. Следовательно, расстояние $AD$ равно $2m_b$.

Тогда $BM_b = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} (2m_b) = m_b$.

Таким образом, $BM_b$ является медианой к стороне $AC$ и её длина равна $m_b$. Все условия задачи выполнены, следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Исследование

Задача имеет решение, если дуга $\Gamma$ и окружность $\Omega'$ пересекаются. Число решений равно числу точек пересечения, которые лежат на дуге $\Gamma$.

1. Если дуга $\Gamma$ и окружность $\Omega'$ не пересекаются, то задача не имеет решений.
2. Если дуга $\Gamma$ и окружность $\Omega'$ касаются (имеют одну общую точку), то задача имеет одно решение.
3. Если дуга $\Gamma$ и окружность $\Omega'$ пересекаются в двух точках, то задача имеет два решения.

Количество решений зависит от соотношения заданных величин $a$, $\alpha$ и $m_b$. Пусть $R$ — радиус окружности, содержащей дугу $\Gamma$ ($R = \frac{a}{2\sin\alpha}$), а $O$ — её центр. Расстояние между центрами $O$ и $D$ равно $OD$. Радиусы окружностей — $R$ и $2m_b$. Для существования пересечения полных окружностей должно выполняться неравенство $|R - 2m_b| \le OD \le R + 2m_b$. Так как мы ищем пересечение именно с дугой, а не всей окружностью, условия более строгие. В общем случае, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Построение и его обоснование приведены выше. Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от заданных параметров.

Условие 2015-2022.

322. Периметр треугольника $ABC$ равен 30 см. Точка касания вписанной окружности со стороной $AB$ делит её в отношении $3 : 2$, считая от вершины $A$, а точка касания со стороной $BC$ удалена от вершины $C$ на 5 см. Найдите стороны треугольника.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).