Номер 3, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 65.

Условие 2023.

3. Каким свойством обладают углы вписанного в окружность четырёх-угольника?

Решение 6 (2023).

Основное свойство углов четырёхугольника, вписанного в окружность (также называемого вписанным четырёхугольником), заключается в следующем: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Доказательство:

Пусть четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Это означает, что все его вершины $A, B, C$ и $D$ лежат на этой окружности.

Рассмотрим пару противоположных углов, например, $\angle A$ и $\angle C$.

По свойству вписанного угла, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

1. Угол $\angle A$ (полное название $\angle DAB$) опирается на дугу $BCD$. Следовательно, его величина равна:
$\angle A = \frac{1}{2} \cdot \smile BCD$

2. Противоположный ему угол $\angle C$ (полное название $\angle DCB$) опирается на дугу $DAB$. Его величина равна:
$\angle C = \frac{1}{2} \cdot \smile DAB$

3. Сложим величины этих двух углов:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot \smile BCD + \frac{1}{2} \cdot \smile DAB = \frac{1}{2} (\smile BCD + \smile DAB)$

4. Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе образуют полную окружность, градусная мера которой составляет $360^\circ$.
$\smile BCD + \smile DAB = 360^\circ$

5. Подставив это значение в сумму углов, получим:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Аналогичное доказательство можно провести и для другой пары противоположных углов, $\angle B$ и $\angle D$. Угол $\angle B$ опирается на дугу $ADC$, а угол $\angle D$ — на дугу $ABC$. Их сумма также будет равна $180^\circ$.
$\angle B + \angle D = \frac{1}{2} \cdot \smile ADC + \frac{1}{2} \cdot \smile ABC = \frac{1}{2} (\smile ADC + \smile ABC) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Таким образом, для любого вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$ выполняются равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Ответ: Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна $180^\circ$.

Условие 2015-2022.

3. Каким свойством обладают углы вписанного в окружность четырёхугольника?