Номер 327, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 327, страница 65.

Условие 2023.

327. Начертите произвольную равнобокую трапецию. Опишите около неё окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи сначала построим произвольную равнобокую трапецию, а затем опишем около нее окружность, найдя ее центр и радиус.

Начертите произвольную равнобокую трапецию

Равнобокая (или равнобедренная) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны, а основания параллельны. Построение удобно выполнять с помощью оси симметрии.

1. Проведем прямую и отметим на ней отрезок $AD$, который будет большим основанием трапеции.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Это будет ось симметрии трапеции.
3. На оси симметрии выберем точку $M$ и проведем через нее прямую, параллельную $AD$.
4. На этой параллельной прямой отложим от точки $M$ влево и вправо равные отрезки, получив точки $B$ и $C$. Отрезок $BC$ станет меньшим основанием.
5. Последовательно соединим точки $A, B, C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ является равнобокой трапецией по построению.

Опишите около неё окружность

Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для любой равнобокой трапеции это свойство выполняется ($\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ$), поэтому описать окружность всегда возможно. Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам трапеции.

1. Один серединный перпендикуляр у нас уже построен — это ось симметрии трапеции, которая перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$ и проходит через их середины.
2. Построим серединный перпендикуляр к любой из боковых сторон, например, к стороне $CD$. Для этого используем циркуль: из центров в точках $C$ и $D$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины $CD$) до их пересечения в двух точках.
3. Проведем прямую через эти две точки пересечения. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $CD$.
4. Точка $O$, в которой пересекаются два построенных серединных перпендикуляра (ось симметрии и перпендикуляр к $CD$), и есть искомый центр описанной окружности.
5. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин трапеции, например, $R=OC$.
6. Установив ножку циркуля в точку $O$ и задав радиус $R$, проводим окружность. Она пройдет через все четыре вершины $A, B, C, D$.

Ответ:

Построена произвольная равнобокая трапеция $ABCD$ и описанная около нее окружность. Центр $O$ окружности найден как точка пересечения оси симметрии трапеции и серединного перпендикуляра к боковой стороне $CD$. Радиус окружности равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин трапеции.

Условие 2015-2022.

327. Начертите произвольную равнобокую трапецию. Опишите около неё окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).