Номер 329, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 329, страница 65.

Условие 2023.

329. Начертите произвольный квадрат. Впишите в него окружность и опишите около него окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые построения.

Начертите произвольный квадрат

Для построения квадрата $ABCD$ выполним следующие действия:

1. С помощью линейки начертим произвольный отрезок $AB$. Обозначим его длину как $a$.
2. Используя угольник или циркуль, построим в точках $A$ и $B$ перпендикуляры к отрезку $AB$.
3. На перпендикуляре, построенном из точки $A$, отложим отрезок $AD$, равный по длине отрезку $AB$ ($AD = a$).
4. Аналогично на перпендикуляре, построенном из точки $B$, отложим отрезок $BC$, равный $a$.
5. Соединим точки $C$ и $D$. Полученная фигура $ABCD$ является квадратом.

Ответ: Построен произвольный квадрат $ABCD$ со стороной $a$.

Впишите в него окружность

Чтобы вписать окружность в квадрат, необходимо найти её центр и радиус. Центр вписанной в квадрат окружности — это точка пересечения его диагоналей, а радиус равен половине его стороны.

1. Проведём диагонали $AC$ и $BD$. Точку их пересечения обозначим $O$. Эта точка является центром квадрата и центром вписанной окружности.
2. Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от точки $O$ до любой из сторон квадрата. Это расстояние равно половине стороны $a$: $r = \frac{a}{2}$.
3. Установим ножку циркуля в точку $O$, а грифель на расстояние $r$.
4. Начертим окружность. Она будет касаться всех четырех сторон квадрата изнутри.

Ответ: В квадрат вписана окружность с центром в точке $O$ (точка пересечения диагоналей) и радиусом $r = \frac{a}{2}$.

Опишите около него окружность

Чтобы описать окружность около квадрата, также необходимо найти её центр и радиус. Центр описанной окружности совпадает с центром вписанной, а её радиус равен расстоянию от центра до любой из вершин квадрата.

1. Центром описанной окружности является та же точка $O$ — точка пересечения диагоналей.
2. Радиус описанной окружности $R$ равен длине отрезка, соединяющего центр $O$ с любой из вершин (например, $OA$ или $OB$). Этот радиус равен половине диагонали квадрата. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ по теореме Пифагора составляет $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
3. Установим ножку циркуля в точку $O$, а грифель — в любую из вершин квадрата (например, в точку $A$).
4. Начертим окружность. Она пройдёт через все четыре вершины $A, B, C$ и $D$.

Ответ: Около квадрата описана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Итоговый чертёж будет выглядеть следующим образом (синим цветом показана вписанная окружность, красным — описанная):

Условие 2015-2022.

329. Начертите произвольный квадрат. Впишите в него окружность и опишите около него окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).