Номер 336, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 336, страница 66.

Условие 2023.

336. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $ABCD$, если его стороны $AB, BC, CD, AD$ соответственно пропорциональны числам:

1) 7, 8, 12, 11;

2) 7, 12, 8, 11?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство называется теоремой Пито. Для четырёхугольника $ABCD$ должно выполняться равенство: $AB + CD = BC + AD$.

1)

Стороны четырёхугольника $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ пропорциональны числам 7, 8, 12, 11. Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$, где $k > 0$. Тогда длины сторон равны:
$AB = 7k$
$BC = 8k$
$CD = 12k$
$AD = 11k$
Проверим условие для вписанной окружности, сравнив суммы противолежащих сторон:
Сумма сторон $AB$ и $CD$: $AB + CD = 7k + 12k = 19k$
Сумма сторон $BC$ и $AD$: $BC + AD = 8k + 11k = 19k$
Так как $AB + CD = BC + AD$ ($19k = 19k$), то условие выполняется. Следовательно, в данный четырёхугольник можно вписать окружность.
Ответ: да, можно.

2)

Стороны четырёхугольника $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ пропорциональны числам 7, 12, 8, 11. Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$, где $k > 0$. Тогда длины сторон равны:
$AB = 7k$
$BC = 12k$
$CD = 8k$
$AD = 11k$
Проверим условие для вписанной окружности, сравнив суммы противолежащих сторон:
Сумма сторон $AB$ и $CD$: $AB + CD = 7k + 8k = 15k$
Сумма сторон $BC$ и $AD$: $BC + AD = 12k + 11k = 23k$
Так как $AB + CD \neq BC + AD$ ($15k \neq 23k$), то условие не выполняется. Следовательно, в данный четырёхугольник нельзя вписать окружность.
Ответ: нет, нельзя.

Условие 2015-2022.

336. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $ABCD$, если его стороны $AB, BC, CD, AD$ соответственно пропорциональны числам:

1) 7, 8, 12, 11;

2) 7, 12, 8, 11?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).