Номер 343, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 343, страница 66.

Условие 2023.

343. Один из углов ромба равен $60^\circ$, а большая диагональ равна $24 \text{ см}$. Найдите радиус окружности, вписанной в данный ромб.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан ромб ABCD. По условию, один из его углов равен $60°$. Пусть $\angle A = 60°$. В ромбе соседние углы в сумме дают $180°$, поэтому $\angle B = 180° - 60° = 120°$. Углы ромба: $60°, 120°, 60°, 120°$.

Большая диагональ ромба лежит напротив большего угла. Следовательно, большая диагональ BD соединяет вершины углов по $120°$, и ее длина равна $BD = 24$ см. Диагонали ромба точкой пересечения O делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Также они являются биссектрисами углов ромба.

Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный ($\angle AOB = 90°$). Его катеты - это половины диагоналей $AO$ и $BO$. Углы этого треугольника равны: $\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$, и $\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.

Катет $AO$ лежит напротив угла $60°$. Катет $BO$ равен половине большей диагонали: $BO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. Катет $BO$ лежит напротив угла $30°$.

Найдем сторону ромба $AB$, которая является гипотенузой в треугольнике ABO. Мы можем использовать синус угла $\angle OAB$:

$\sin(\angle OAB) = \frac{BO}{AB} \implies \sin(30°) = \frac{12}{AB}$

$AB = \frac{12}{\sin(30°)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см.

Другой способ найти сторону: треугольник ABD является равнобедренным ($AB=AD$). Угол при вершине A равен $60°$. Следовательно, углы при основании BD также равны $(180°-60°)/2 = 60°$. Таким образом, треугольник ABD - равносторонний, и его сторона $AB$ равна диагонали $BD$.$AB = BD = 24$ см. Этот способ проще.

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен половине его высоты $h$. Высоту ромба можно найти по формуле $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ - сторона ромба, а $\alpha$ - его угол. Возьмем острый угол $\alpha = 60°$.

$h = AB \cdot \sin(60°) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Проверим решение. Кажется, я перепутал, какой катет напротив какого угла. Давайте вернемся к треугольнику ABO.
$BO = 12$ см. $\angle OAB = 30°$. Катет $BO$ лежит напротив угла $30°$.
Катет $AO$ лежит напротив угла $60°$.

Сторона ромба $AB$ (гипотенуза):$AB = \frac{BO}{\sin(30°)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см. (Это было верно).

Ах, я понял ошибку. В условии сказано, что большая диагональ равна 24 см. Большая диагональ лежит напротив тупого угла $120°$. Значит, $AC = 24$ см.

Давайте решим задачу заново с правильными данными.

Решение:

Пусть углы ромба равны $60°$ и $120°$. Большая диагональ $d_1$ лежит напротив большего угла ($120°$) и равна 24 см. Меньшая диагональ $d_2$ лежит напротив меньшего угла ($60°$).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба $a$. Катеты этого треугольника равны $d_1/2$ и $d_2/2$, а гипотенуза равна $a$. Углы при гипотенузе равны половинам углов ромба, то есть $60°/2 = 30°$ и $120°/2 = 60°$.

Половина большей диагонали равна $d_1/2 = 24/2 = 12$ см. Этот катет лежит напротив угла $60°$.

Найдем сторону ромба $a$ (гипотенузу) из этого прямоугольного треугольника:

$\sin(60°) = \frac{d_1/2}{a} \implies a = \frac{d_1/2}{\sin(60°)} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Высота ромба $h$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ соотношением $h = 2r$. Высоту можно вычислить по формуле $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол ромба. Используем острый угол $\alpha=60°$.

$h = a \cdot \sin(60°) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

343. Один из углов ромба равен $60^\circ$, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данный ромб.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).