Номер 347, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 347, страница 66.

Условие 2023.

347. Найдите углы четырёхугольника $MNKP$, вписанного в окружность, если $\angle MKP = 58^\circ$, $\angle MPN = 34^\circ$, $\angle KMP = 16^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи воспользуемся двумя ключевыми свойствами вписанных в окружность углов и четырехугольников:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{\circ}$.

Четырехугольник $MNKP$ имеет углы при вершинах $M, N, K, P$. Это соответственно углы $\angle PMN, \angle MNK, \angle NKP, \angle KPM$.

Угол $\angle NKP$

Угол при вершине $K$ четырехугольника $MNKP$ — это $\angle NKP$. Он состоит из двух углов, образованных диагональю $MK$: $\angle NKP = \angle NKM + \angle MKP$.

Угол $\angle MKP$ дан в условии: $\angle MKP = 58^{\circ}$.

Угол $\angle NKM$ опирается на дугу $MN$. На эту же дугу опирается и данный в условии угол $\angle MPN$. Следовательно, $\angle NKM = \angle MPN = 34^{\circ}$.

Теперь можем найти полный угол $\angle NKP$:

$\angle NKP = \angle NKM + \angle MKP = 34^{\circ} + 58^{\circ} = 92^{\circ}$.

Ответ: $\angle NKP = 92^{\circ}$.

Угол $\angle MNK$

Угол при вершине $N$ — это $\angle MNK$. Он состоит из двух углов, образованных диагональю $NP$: $\angle MNK = \angle MNP + \angle PNK$.

Угол $\angle MNP$ опирается на дугу $MP$. На эту же дугу опирается и данный в условии угол $\angle MKP$. Следовательно, $\angle MNP = \angle MKP = 58^{\circ}$.

Угол $\angle PNK$ (или $\angle KNP$) опирается на дугу $KP$. На эту же дугу опирается и данный в условии угол $\angle KMP$. Следовательно, $\angle PNK = \angle KMP = 16^{\circ}$.

Теперь можем найти полный угол $\angle MNK$:

$\angle MNK = \angle MNP + \angle PNK = 58^{\circ} + 16^{\circ} = 74^{\circ}$.

Ответ: $\angle MNK = 74^{\circ}$.

Угол $\angle KPM$

Угол $\angle KPM$ является противоположным углу $\angle MNK$ во вписанном четырехугольнике $MNKP$. Их сумма должна быть равна $180^{\circ}$.

$\angle KPM + \angle MNK = 180^{\circ}$

$\angle KPM = 180^{\circ} - \angle MNK = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}$.

Ответ: $\angle KPM = 106^{\circ}$.

Угол $\angle PMN$

Угол $\angle PMN$ является противоположным углу $\angle NKP$. Их сумма также равна $180^{\circ}$.

$\angle PMN + \angle NKP = 180^{\circ}$

$\angle PMN = 180^{\circ} - \angle NKP = 180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ}$.

Ответ: $\angle PMN = 88^{\circ}$.

Условие 2015-2022.

347. Найдите углы четырёхугольника $MNKP$, вписанного в окружность, если $\angle MKP = 58^\circ$, $\angle MPN = 34^\circ$, $\angle KMP = 16^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).