Номер 351, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 351, страница 67.

Условие 2023.

351. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит бóльшую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим её ABCD, где AB и CD — боковые стороны, а BC и AD — основания. Пусть сторона AB перпендикулярна основаниям, тогда AB является высотой трапеции и меньшей боковой стороной, а CD — большей (наклонной) боковой стороной.

Поскольку в трапецию вписана окружность, её высота равна диаметру этой окружности. Если r — искомый радиус окружности, то высота трапеции $AB = 2r$.

По условию, точка касания делит большую боковую сторону CD на отрезки длиной 3 см и 12 см. Следовательно, длина всей стороны CD равна сумме длин этих отрезков:
$CD = 3 + 12 = 15$ см.

Для любого описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) выполняется свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это свойство записывается так:
$AB + CD = BC + AD$

Периметр трапеции P — это сумма длин всех её сторон:
$P = AB + BC + CD + AD$
Используя свойство описанного четырехугольника, мы можем сгруппировать слагаемые и упростить формулу периметра:
$P = (AB + CD) + (BC + AD) = 2 \cdot (AB + CD)$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу периметра. Из условия $P = 54$ см. Мы нашли, что $CD = 15$ см, и выразили $AB$ через радиус: $AB = 2r$.
$54 = 2 \cdot (2r + 15)$

Решим это уравнение, чтобы найти радиус r:
Разделим обе части уравнения на 2:
$27 = 2r + 15$
Вычтем 15 из обеих частей:
$2r = 27 - 15$
$2r = 12$
Разделим обе части на 2:
$r = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

351. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).