Номер 345, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 345, страница 66.

Условие 2023.

345. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами ромба и свойствами четырехугольника, вписанного в окружность.

Пусть $ABCD$ — это ромб. По определению ромба, все его стороны равны. Также у ромба, как у любого параллелограмма, противоположные углы попарно равны:$ \angle A = \angle C $ и $ \angle B = \angle D $.

По условию, около этого ромба можно описать окружность. Это означает, что ромб $ABCD$ является вписанным четырехугольником. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, для нашего ромба должны выполняться следующие равенства:$ \angle A + \angle C = 180^\circ $$ \angle B + \angle D = 180^\circ $

Теперь объединим свойства ромба и вписанного четырехугольника.Рассмотрим пару противоположных углов $A$ и $C$. Мы имеем систему из двух уравнений:1. $ \angle A = \angle C $ (свойство ромба)2. $ \angle A + \angle C = 180^\circ $ (свойство вписанного четырехугольника)

Подставим первое уравнение во второе:$ \angle A + \angle A = 180^\circ $$ 2\angle A = 180^\circ $$ \angle A = 90^\circ $Так как $ \angle A = \angle C $, то и $ \angle C = 90^\circ $.

Аналогично для пары углов $B$ и $D$:1. $ \angle B = \angle D $ (свойство ромба)2. $ \angle B + \angle D = 180^\circ $ (свойство вписанного четырехугольника)

Подставляем первое уравнение во второе:$ \angle B + \angle B = 180^\circ $$ 2\angle B = 180^\circ $$ \angle B = 90^\circ $Так как $ \angle B = \angle D $, то и $ \angle D = 90^\circ $.

Мы получили, что все углы ромба $ABCD$ равны $90^\circ$. Ромб, у которого все углы прямые, по определению является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если около ромба можно описать окружность, то его противоположные углы должны быть равны (как у ромба) и в сумме давать $180^\circ$ (как у вписанного четырехугольника). Это возможно только в том случае, если все углы равны $90^\circ$, а ромб с прямыми углами является квадратом.

Условие 2015-2022.

345. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).