Номер 342, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 342, страница 66.

Условие 2023.

342. Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которую можно вписать окружность. Пусть $BC$ и $AD$ — её параллельные основания, а $CD$ — одна из боковых сторон. Обозначим центр вписанной окружности как точку $O$. Угол, под которым боковая сторона $CD$ видна из центра $O$, — это угол $\angle COD$. Нам необходимо найти его величину.

Ключевым свойством вписанной в многоугольник окружности является то, что её центр равноудален от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис углов этого многоугольника.

Следовательно, отрезки $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $\angle BCD$ и $\angle ADC$ трапеции соответственно. Это означает, что:
$\angle OCD = \frac{1}{2} \angle BCD$
$\angle ODC = \frac{1}{2} \angle ADC$

Для любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей. Таким образом, для стороны $CD$:
$\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $COD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180^\circ$

Подставим в это уравнение выражения для углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ через углы трапеции:
$\angle COD + \frac{1}{2} \angle BCD + \frac{1}{2} \angle ADC = 180^\circ$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle COD + \frac{1}{2} (\angle BCD + \angle ADC) = 180^\circ$

Так как мы знаем, что $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$, подставим это значение в наше уравнение:
$\angle COD + \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 180^\circ$
$\angle COD + 90^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол:
$\angle COD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, боковая сторона любой трапеции, в которую можно вписать окружность, видна из центра этой окружности под прямым углом.

Ответ: $90^\circ$.

Условие 2015-2022.

342. Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).