Номер 349, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 349, страница 66.

Условие 2023.

349. Высоты $BM$ и $CK$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что точки $A, K, H$ и $M$ лежат на одной окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, в остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BM$ и $CK$, которые пересекаются в точке $H$.

Рассмотрим четырехугольник $AKHM$.

Так как $CK$ — высота, проведенная к стороне $AB$, то $CK \perp AB$. Из этого следует, что $\angle CKA = 90^\circ$. Поскольку точка $H$ лежит на отрезке $CK$, то $\angle AKH = 90^\circ$.

Так как $BM$ — высота, проведенная к стороне $AC$, то $BM \perp AC$. Из этого следует, что $\angle BMA = 90^\circ$. Поскольку точка $H$ лежит на отрезке $BM$, то $\angle AMH = 90^\circ$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AKH$ (с прямым углом $K$) и $\triangle AMH$ (с прямым углом $M$). Оба этих треугольника имеют общую гипотенузу $AH$.

Известно, что окружность, описанная около прямоугольного треугольника, имеет своим диаметром его гипотенузу.
Следовательно, точка $K$ лежит на окружности с диаметром $AH$.
Аналогично, точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AH$.

Таким образом, точки $A$, $K$, $H$ и $M$ лежат на одной и той же окружности, построенной на отрезке $AH$ как на диаметре. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A, K, H, M$ лежат на одной окружности, так как они лежат на окружности, для которой отрезок $AH$ является диаметром.

Условие 2015-2022.

349. Высоты $BM$ и $CK$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что точки $A, K, H$ и $M$ лежат на одной окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).