Номер 352, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 352, страница 67.

Условие 2023.

352. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность. Трапецию можно вписать в окружность только в том случае, если она равнобедренная. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Тогда боковые стороны равны: $AB = CD$.

По условию, центр окружности $O$ принадлежит большему основанию $AD$. Это означает, что большее основание $AD$ является диаметром окружности. Пусть радиус окружности равен $R$. Тогда $AD = 2R$, а точка $O$ — середина $AD$.

Так как все вершины трапеции лежат на окружности, расстояния от центра $O$ до вершин равны радиусу: $OA = OB = OC = OD = R$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$.
Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$.
Треугольник $\triangle BOC$ является равнобедренным, так как $OB = OC = R$.
Треугольник $\triangle COD$ является равнобедренным, так как $OC = OD = R$.

По условию, боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Так как трапеция равнобедренная, то $AB = CD$. Следовательно, $AB = BC = CD$.

Сравним треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$. У них у всех две стороны равны радиусу $R$. Третьи стороны этих треугольников ($AB$, $BC$ и $CD$ соответственно) также равны между собой. Значит, по трем сторонам (признак SSS), эти треугольники равны: $\triangle AOB \cong \triangle BOC \cong \triangle COD$.

Из равенства треугольников следует равенство их углов. В частности, равны центральные углы: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$.

Точки $A$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (диаметре $AD$), поэтому угол $\angle AOD$ является развернутым и равен $180^\circ$. Этот угол состоит из суммы трех равных углов:
$\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$
$3 \cdot \angle AOB = 180^\circ$
$\angle AOB = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Таким образом, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 60^\circ$.

Теперь найдем углы трапеции.
Рассмотрим $\triangle AOB$. Это равнобедренный треугольник ($OA = OB = R$) с углом при вершине $\angle AOB = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle AOB$ является равносторонним. Все его углы равны $60^\circ$. Угол трапеции при основании $AD$ — это $\angle DAB$. Он совпадает с углом $\angle OAB$ треугольника $\triangle AOB$.
$\angle DAB = \angle OAB = 60^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, углы при каждом основании равны.
$\angle CDA = \angle DAB = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.
$\angle ABC + \angle DAB = 180^\circ$
$\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Второй угол при меньшем основании:
$\angle BCD = \angle ABC = 120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

Условие 2015-2022.

352. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).