Номер 354, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 354, страница 67.

Условие 2023.

354. Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны 6 см, а один из её углов равен $60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD – большее основание, а BC – меньшее. По условию, боковые стороны и меньшее основание равны 6 см, то есть $AB = CD = BC = 6$ см. Один из углов трапеции равен 60°. В равнобокой трапеции углы при основании равны, причем углы при большем основании острые. Следовательно, $\angle BAD = \angle CDA = 60°$.

Окружность, описанная около трапеции, является той же окружностью, что и описанная около треугольника, образованного любыми тремя ее вершинами, например, треугольника ABD. Найдем радиус R этой окружности, который и будет искомым радиусом.

Для начала найдем длину большего основания AD. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобокая, то прямоугольные треугольники ABH и DCK равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Гипотенуза $AB=6$ см, а угол $\angle BAH = 60°$. Найдем длину катета AH:$AH = AB \cdot \cos(60°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.Поскольку $\triangle ABH = \triangle DCK$, то $KD = AH = 3$ см.Отрезок HK равен меньшему основанию BC, так как HBCK – прямоугольник. Таким образом, $HK = 6$ см.Теперь можем найти длину большего основания AD:$AD = AH + HK + KD = 3 + 6 + 3 = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем длины двух его сторон $AB = 6$ см и $AD = 12$ см, а также угол между ними $\angle BAD = 60°$. Найдем длину третьей стороны BD (диагонали трапеции) по теореме косинусов:$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$$BD^2 = 6^2 + 12^2 - 2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \cos(60°)$$BD^2 = 36 + 144 - 144 \cdot \frac{1}{2} = 180 - 72 = 108$

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника ABD: $AB = 6$ см, $AD = 12$ см, и $BD = \sqrt{108}$ см. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:$AB^2 + BD^2 = 6^2 + (\sqrt{108})^2 = 36 + 108 = 144$.$AD^2 = 12^2 = 144$.Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник ABD является прямоугольным, где AD – гипотенуза, а угол $\angle ABD = 90°$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы.Следовательно, радиус R описанной окружности равен:$R = \frac{AD}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

354. Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны 6 см, а один из её углов равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).