Номер 360, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 360, страница 67.

Условие 2023.

360. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ скользят по сторонам прямого угла с вершиной $P$ (рис. 110). Докажите, что точка $C$ при этом перемещается по отрезку.

Рис. 110

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырехугольник PACB. По условию задачи, угол C в треугольнике ABC является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Вершины A и B скользят по сторонам прямого угла с вершиной P, из чего следует, что $\angle APB = 90^\circ$.

Сумма противоположных углов в четырехугольнике PACB составляет $\angle ACB + \angle APB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это является признаком вписанного четырехугольника. Следовательно, вокруг четырехугольника PACB можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет служить общая гипотенуза AB прямоугольных треугольников ABC и APB.

Вписанные в окружность углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны. В окружности, проходящей через точки P, A, C, B, углы $\angle CPB$ и $\angle CAB$ опираются на одну и ту же дугу CB. Отсюда следует, что $\angle CPB = \angle CAB$.

Поскольку треугольник ABC не изменяет своей формы и размеров в процессе движения, его углы, в том числе и $\angle CAB$, являются постоянными величинами. Следовательно, угол $\angle CPB$ также остается постоянным. Так как точка P неподвижна, а точка B движется по фиксированной прямой (одной из сторон угла P), точка C должна всегда находиться на луче, выходящем из точки P под постоянным углом, равным $\angle CAB$, к прямой PB.

Таким образом, мы доказали, что траектория движения точки C является частью прямой линии.

Чтобы доказать, что точка C перемещается именно по отрезку, необходимо определить границы ее движения на этом луче. Границы движения соответствуют крайним положениям вершин A и B.

Первое крайнее положение достигается, когда вершина A совпадает с вершиной P. В этом случае гипотенуза AB лежит на стороне угла, по которой скользит точка B. Точка C будет занимать некоторое положение $C_1$ на луче.

Второе крайнее положение достигается, когда вершина B совпадает с вершиной P. В этом случае гипотенуза AB лежит на стороне угла, по которой скользит точка A. Точка C будет занимать некоторое положение $C_2$ на том же луче.

Поскольку движение вершин A и B по сторонам угла непрерывно, точка C также непрерывно перемещается по установленному лучу. Крайние положения вершин A и B определяют два крайних положения точки C, $C_1$ и $C_2$. Все промежуточные положения точки C будут лежать между точками $C_1$ и $C_2$ на этом луче. Таким образом, траекторией точки C является отрезок $C_1C_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка C перемещается по отрезку. Этот отрезок лежит на луче, выходящем из вершины прямого угла P под постоянным углом, равным углу CAB, к стороне, по которой скользит вершина B.

Условие 2015-2022.

360. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ скользят по сторонам прямого угла с вершиной $P$ (рис. 110). Докажите, что точка $C$ при этом перемещается по отрезку.

Рис. 110

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).