Номер 363, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 363, страница 68.

Условие 2023.

363. На боковых сторонах трапеции, в которую можно вписать окружность, как на диаметрах построены две окружности. Докажите, что эти окружности имеют одну общую точку.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которую можно вписать окружность. Пусть $AD$ и $BC$ — её основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

На боковых сторонах $AB$ и $CD$ как на диаметрах построены две окружности. Назовем их $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно.

Центром окружности $\omega_1$, построенной на стороне $AB$ как на диаметре, является середина $AB$. Обозначим эту точку $M$. Радиус этой окружности $r_1 = \frac{AB}{2}$.

Центром окружности $\omega_2$, построенной на стороне $CD$ как на диаметре, является середина $CD$. Обозначим эту точку $N$. Радиус этой окружности $r_2 = \frac{CD}{2}$.

Для того чтобы доказать, что две окружности имеют одну общую точку, необходимо показать, что они касаются друг друга. Две окружности касаются друг друга внешним образом, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. В нашем случае необходимо доказать, что $MN = r_1 + r_2$.

Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является ее средней линией. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований:

$MN = \frac{AD + BC}{2}$

Сумма радиусов двух окружностей равна:

$r_1 + r_2 = \frac{AB}{2} + \frac{CD}{2} = \frac{AB + CD}{2}$

По условию, в трапецию $ABCD$ можно вписать окружность. Согласно свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:

$AB + CD = AD + BC$

Теперь подставим это равенство в выражение для длины средней линии $MN$:

$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{AB + CD}{2}$

Сравнивая полученное выражение для $MN$ с выражением для суммы радиусов $r_1 + r_2$, мы видим, что они равны:

$MN = r_1 + r_2$

Так как расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, окружности касаются друг друга внешним образом. Точка касания является их единственной общей точкой.

Таким образом, утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

363. На боковых сторонах трапеции, в которую можно вписать окружность, как на диаметрах построены две окружности. Докажите, что эти окружности имеют одну общую точку.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).