Номер 361, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 361, страница 67.

Условие 2023.

361. Из произвольной точки $M$, принадлежащей углу с вершиной $A$, но не принадлежащей его сторонам, проведены перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к сторонам угла. Из точки $A$ проведён перпендикуляр $AK$ к отрезку $PQ$. Докажите, что $\angle PAK = \angle MAQ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства равенства углов воспользуемся свойствами вписанных углов и прямоугольных треугольников.

1. Рассмотрим четырехугольник $APMQ$. По условию задачи, из точки $M$ проведены перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к сторонам угла с вершиной $A$. Это означает, что $MP \perp AP$ и $MQ \perp AQ$, и, следовательно, углы $\angle APM$ и $\angle AQM$ являются прямыми: $\angle APM = 90^\circ$ и $\angle AQM = 90^\circ$.
2. Поскольку два прямых угла $\angle APM$ и $\angle AQM$ опираются на один и тот же отрезок $AM$, точки $A, P, M, Q$ лежат на одной окружности. Диаметром этой окружности является отрезок $AM$.
3. В окружности, проходящей через точки $A, P, M, Q$, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle APQ$ и $\angle AMQ$ оба опираются на дугу $AQ$. Следовательно, $\angle APQ = \angle AMQ$.
4. Рассмотрим треугольник $\triangle APK$. По условию, $AK \perp PQ$, значит, $\triangle APK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle AK P = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:
   $\angle PAK + \angle APK = 90^\circ$
   Отсюда выразим $\angle PAK$:
   $\angle PAK = 90^\circ - \angle APK$.
   Так как $\angle APK$ и $\angle APQ$ — это один и тот же угол, мы можем записать:
   $\angle PAK = 90^\circ - \angle APQ$.
5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AQM$. Так как $MQ \perp AQ$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине $Q$ ($\angle AQM = 90^\circ$). Сумма его острых углов также равна $90^\circ$:
   $\angle MAQ + \angle AMQ = 90^\circ$
   Отсюда выразим $\angle MAQ$:
   $\angle MAQ = 90^\circ - \angle AMQ$.
6. На последнем шаге объединим полученные результаты.
   Из пункта 4 мы имеем: $\angle PAK = 90^\circ - \angle APQ$.
   Из пункта 3 мы знаем, что $\angle APQ = \angle AMQ$.
   Подставим это равенство в предыдущее выражение: $\angle PAK = 90^\circ - \angle AMQ$.
   Из пункта 5 мы знаем, что $90^\circ - \angle AMQ = \angle MAQ$.
   Таким образом, мы приходим к выводу, что $\angle PAK = \angle MAQ$.
   Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle PAK = \angle MAQ$ доказано.

Условие 2015-2022.

361. Из произвольной точки $M$, принадлежащей углу с вершиной $A$, но не принадлежащей его сторонам, проведены перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к сторонам угла. Из точки $A$ проведён перпендикуляр $AK$ к отрезку $PQ$. Докажите, что $∠PAK = ∠MAQ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).