Номер 366, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 366, страница 68.

Условие 2023.

366. Высота $BM$ ромба $ABCD$, опущенная из вершины тупого угла на сторону $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $K$, $\angle BKC = 64^\circ$. Найдите $\angle ABC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — ромб. По свойству ромба, его противоположные стороны параллельны, в частности $BC \parallel AD$.

По условию, $BM$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, следовательно, $BM \perp AD$.

Так как прямая $BM$ перпендикулярна одной из двух параллельных прямых ($AD$), то она перпендикулярна и второй прямой ($BC$). Таким образом, $BM \perp BC$, и угол $\angle MBC = 90^\circ$.

Точка $K$ является точкой пересечения высоты $BM$ и диагонали $AC$. Это означает, что точка $K$ лежит на отрезке $BM$. Следовательно, $\angle KBC = \angle MBC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle KBC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла в этом треугольнике: $\angle BKC = 64^\circ$ (по условию) и $\angle KBC = 90^\circ$ (как было установлено).

Найдем третий угол, $\angle KCB$:
$\angle KCB = 180^\circ - \angle KBC - \angle BKC = 180^\circ - 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$.

Угол $\angle KCB$ — это то же самое, что и угол $\angle BCA$. Таким образом, $\angle BCA = 26^\circ$.

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Диагональ $AC$ делит угол $\angle BCD$ пополам. Следовательно:
$\angle BCD = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ$.

В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются соседними, поэтому:
$\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$.

Отсюда находим искомый угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Проверим, что угол $\angle ABC$ является тупым, как указано в условии. Так как $128^\circ > 90^\circ$, условие задачи выполняется.

Ответ: $128^\circ$.

Условие 2015-2022.

366. Высота $BM$ ромба $ABCD$, опущенная из вершины тупого угла на сторону $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $K$, $\angle BKC = 64^\circ$. Найдите $\angle ABC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).