Номер 365, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 365, страница 68.

Условие 2023.

365. В треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ – биссектриса. Через точку $D$ проведена прямая, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена прямая, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $F$. Докажите, что $AE = CF$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольник $ADE$. По условию задачи, прямая, проходящая через точку $D$, параллельна стороне $AC$, то есть $DE \parallel AC$. Прямая $AD$ является секущей для параллельных прямых $DE$ и $AC$. Следовательно, накрест лежащие углы при секущей $AD$ равны: $\angle ADE = \angle CAD$.

По условию, $AD$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$. Это означает, что $\angle EAD = \angle CAD$.

Так как $\angle ADE = \angle CAD$ и $\angle EAD = \angle CAD$, то мы можем сделать вывод, что $\angle ADE = \angle EAD$.

В треугольнике $ADE$ два угла равны, следовательно, треугольник $ADE$ является равнобедренным с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Таким образом, $AE = DE$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $EFCD$. По условию, прямая, проходящая через точку $E$, параллельна стороне $BC$. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то $EF \parallel DC$. Также по условию $DE \parallel AC$, а так как точка $F$ лежит на стороне $AC$, то $DE \parallel FC$.

Четырехугольник $EFCD$, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ($EF \parallel DC$ и $DE \parallel FC$), является параллелограммом по определению.

Одним из свойств параллелограмма является равенство его противолежащих сторон. Следовательно, $DE = CF$.

Мы получили два равенства: $AE = DE$ и $DE = CF$. Из них следует, что $AE = CF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AE = CF$ доказано.

Условие 2015-2022.

365. В треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ – биссектриса. Через точку $D$ проведена прямая, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена прямая, которая параллельна стороне $BC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $F$. Докажите, что $AE = CF$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).