Номер 358, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 358, страница 67.

Условие 2023.

358. Биссектрисы $MA$ и $KB$ треугольника $MNK$ пересекаются в точке $O$, точки $A$, $N$, $B$ и $O$ лежат на одной окружности. Найдите $\angle N$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $MNK$ углы при вершинах равны $\angle M, \angle N, \angle K$.Поскольку $MA$ и $KB$ являются биссектрисами углов $\angle M$ и $\angle K$ соответственно, и они пересекаются в точке $O$, то:

$\angle OMK = \frac{1}{2}\angle M$

$\angle OKM = \frac{1}{2}\angle K$

Рассмотрим треугольник $MOK$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle MOK = 180^\circ - (\angle OMK + \angle OKM) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle M + \frac{1}{2}\angle K) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle M + \angle K)$

Углы $\angle AOB$ и $\angle MOK$ являются вертикальными, значит, они равны:

$\angle AOB = \angle MOK = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle M + \angle K)$

По условию задачи, точки $A, N, B, O$ лежат на одной окружности. Это означает, что четырёхугольник $ANBO$ является вписанным в окружность.Одно из свойств вписанного четырёхугольника гласит, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом:

$\angle ANB + \angle AOB = 180^\circ$

Угол $\angle ANB$ — это угол $\angle N$ треугольника $MNK$. Следовательно:

$\angle N + \angle AOB = 180^\circ \Rightarrow \angle AOB = 180^\circ - \angle N$

Теперь мы имеем два выражения для угла $\angle AOB$. Приравняем их:

$180^\circ - \frac{1}{2}(\angle M + \angle K) = 180^\circ - \angle N$

Упростив это уравнение, получим:

$\frac{1}{2}(\angle M + \angle K) = \angle N$

Из свойства суммы углов треугольника $MNK$ мы знаем, что $\angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ$. Отсюда можно выразить сумму углов $\angle M + \angle K$:

$\angle M + \angle K = 180^\circ - \angle N$

Подставим это выражение в полученное ранее равенство:

$\frac{1}{2}(180^\circ - \angle N) = \angle N$

Теперь решим это уравнение относительно $\angle N$:

$90^\circ - \frac{1}{2}\angle N = \angle N$

$90^\circ = \angle N + \frac{1}{2}\angle N$

$90^\circ = \frac{3}{2}\angle N$

$\angle N = \frac{90^\circ \cdot 2}{3} = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

Условие 2015-2022.

358. Биссектрисы $MA$ и $KB$ треугольника $MNK$ пересекаются в точке $O$, точки $A, N, B$ и $O$ лежат на одной окружности. Найдите $\angle N$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).