Номер 355, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 355, страница 67.

Условие 2023.

355. Из произвольной точки M катета AC прямоугольного треугольника ABC опущен перпендикуляр MK на гипотенузу AB. Докажите, что $\angle MKC = \angle MBC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим четырехугольник $MKBC$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а $AC$ — его катет. Это означает, что прямой угол треугольника находится в вершине $C$, то есть $\angle BCA = 90^\circ$. Поскольку точка $M$ лежит на катете $AC$, угол $\angle MCB$ совпадает с углом $\angle BCA$ и также равен $90^\circ$.

Также по условию, из точки $M$ на гипотенузу $AB$ опущен перпендикуляр $MK$. Следовательно, угол, образованный $MK$ и $AB$, является прямым: $\angle MKB = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $MKBC$. В нем два угла, $\angle MCB$ и $\angle MKB$, являются прямыми. Важно заметить, что оба этих угла опираются на один и тот же отрезок — $MB$.

Согласно свойству окружности, геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, представляет собой окружность, построенную на этом отрезке как на диаметре. Так как из точек $C$ и $K$ отрезок $MB$ виден под углом $90^\circ$, то точки $C$ и $K$ (а также сами концы отрезка $M$ и $B$) лежат на одной окружности с диаметром $MB$.

Таким образом, четырехугольник $MKBC$ является вписанным в окружность.

Для вписанных четырехугольников справедливо свойство: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle MKC$ и $\angle MBC$ являются вписанными в построенную окружность и оба опираются на одну и ту же дугу $MC$.

Следовательно, мы можем заключить, что $\angle MKC = \angle MBC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $M, K, B, C$ лежат на одной окружности, так как углы $\angle MCB$ и $\angle MKB$ — прямые и опираются на общий отрезок $MB$. Углы $\angle MKC$ и $\angle MBC$ являются вписанными в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу $MC$, следовательно, они равны.

Условие 2015-2022.

355. Из произвольной точки $M$ катета $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ опущен перпендикуляр $MK$ на гипотенузу $AB$. Докажите, что $\angle MKC = \angle MBC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).