Номер 350, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 350, страница 66.

Условие 2023.

350. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $BC$ и $AD$. В такую трапецию вписана окружность, радиус которой $r = 20$ см. Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Следовательно, высота трапеции, равная стороне $AB$, составляет:$h = AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.

По условию, точка касания делит бо́льшую боковую сторону $CD$ на отрезки длиной 8 см и 50 см. Пусть $K$ — точка касания на стороне $CD$. Тогда длина стороны $CD$ равна сумме длин этих отрезков:$CD = 8 + 50 = 58$ см.

Для нахождения периметра необходимо найти длины оснований $BC$ и $AD$. Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть точки касания на основаниях $BC$ и $AD$ — это $N$ и $L$ соответственно.Тогда $CK = CN = 8$ см, а $DK = DL = 50$ см.

Поскольку трапеция прямоугольная ($\angle A = \angle B = 90^\circ$), отрезки оснований от вершин с прямыми углами до точек касания равны радиусу вписанной окружности. То есть, $BN = r = 20$ см и $AL = r = 20$ см.Теперь можем найти полные длины оснований:Длина основания $BC = BN + NC = 20 + 8 = 28$ см.Длина основания $AD = AL + DL = 20 + 50 = 70$ см.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон:$P = AB + BC + CD + AD$$P = 40 + 28 + 58 + 70 = 196$ см.

Стоит отметить, что для любого описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) суммы длин противоположных сторон равны. Проверим это свойство для нашей трапеции:$AB + CD = 40 + 58 = 98$ см.$BC + AD = 28 + 70 = 98$ см.Равенство выполняется, что подтверждает правильность наших расчетов. Периметр можно было также найти как $P = 2 \cdot (AB + CD) = 2 \cdot 98 = 196$ см.

Ответ: 196 см.

Условие 2015-2022.

350. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен 20 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).