Номер 348, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 348, страница 66.

Условие 2023.

348. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $56^\circ$. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, вписанная в окружность с центром $O$. По условию, центр $O$ лежит на одном из оснований. Рассмотрим случай, когда центр лежит на большем основании $AD$. В этом случае $AD$ является диаметром окружности.

Так как $AD$ — диаметр, то вписанные углы, опирающиеся на него, равны $90^\circ$. Таким образом, $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне (например, $CD$), по условию равен $56^\circ$. Значит, $\angle CED = 56^\circ$.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобокой, поэтому её боковые стороны равны ($AB = CD$). Равные хорды стягивают равные дуги: дуга $AB$ = дуга $CD$.

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Угол $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$, а угол $\angle ADB$ — на дугу $AB$. Следовательно, $\angle CAD = \angle ADB$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $AED$. В нем $\angle EAD = \angle CAD = \alpha$ и $\angle EDA = \angle ADB = \alpha$. Угол $\angle AED$ является смежным с углом $\angle CED$, поэтому $\angle AED = 180^\circ - \angle CED = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $AED$ равна $180^\circ$: $\angle EAD + \angle EDA + \angle AED = 180^\circ$. Подставляя известные значения, получаем $\alpha + \alpha + 124^\circ = 180^\circ$. Отсюда $2\alpha = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$, и $\alpha = 28^\circ$.

Теперь найдем углы трапеции. Углы при основании $AD$ равны: $\angle DAB = \angle CDA$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$: $\angle CDA + \angle CAD = 90^\circ$. Тогда $\angle CDA = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$. Следовательно, острые углы трапеции равны $62^\circ$.

Углы при основании $BC$ также равны между собой. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$. Следовательно, тупые углы трапеции равны $118^\circ$.

(Если бы центр окружности лежал на меньшем основании $BC$, то углы трапеции при основании $BC$ были бы острыми, а при основании $AD$ — тупыми. Расчеты показывают, что значения углов остались бы теми же: $62^\circ$ и $118^\circ$)

Ответ: углы трапеции равны $62^\circ$, $118^\circ$, $118^\circ$, $62^\circ$.

Условие 2015-2022.

348. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $56^\circ$. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).