Номер 353, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 353, страница 67.

Условие 2023.

353. Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна $d$. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом $120^\circ$. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность с центром в точке $O$. Пусть основания трапеции — $AD$ и $BC$, а боковые стороны — $AB$ и $CD$.

Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Это означает, что ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а также равны ее диагонали. По условию задачи, диагональ равна $d$, то есть $AC = BD = d$.

По условию, боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом $120°$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на хорду, являющуюся боковой стороной (например, $CD$), равен $120°$. Таким образом, $\angle COD = 120°$.

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла. Угол $\angle CAD$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $CD$. Следовательно, его величина равна:

$\angle CAD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{120°}{2} = 60°$

Теперь найдем связь между диагональю, высотой и средней линией трапеции. Пусть $m$ — средняя линия трапеции, а $h$ — ее высота. Проведем из вершины $C$ высоту $CF$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии. То есть, длина отрезка $AF$ равна $m$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AFC$, где $\angle CFA = 90°$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $AC = d$;
• катет $AF = m$ (средняя линия);
• катет $CF = h$ (высота трапеции).

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle AFC$ имеем:

$AC^2 = AF^2 + CF^2$

$d^2 = m^2 + h^2$

Высоту $h$ можно найти из этого же треугольника, используя синус угла $\angle CAF$ (который равен $\angle CAD = 60°$):

$h = CF = AC \cdot \sin(\angle CAF) = d \cdot \sin(60°) = d \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $h$ в уравнение теоремы Пифагора:

$d^2 = m^2 + \left(d \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$d^2 = m^2 + \frac{3d^2}{4}$

Выразим $m^2$ из полученного уравнения:

$m^2 = d^2 - \frac{3d^2}{4}$

$m^2 = \frac{4d^2 - 3d^2}{4}$

$m^2 = \frac{d^2}{4}$

Так как средняя линия $m$ — это длина, она должна быть положительной. Извлекая квадратный корень, получаем:

$m = \frac{d}{2}$

Ответ: $\frac{d}{2}$

Условие 2015-2022.

353. Диагональ трапеции, вписанной в окружность, равна $d$. Боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом $120^\circ$. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).