Номер 346, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 346, страница 66.

Условие 2023.

346. Сторона $AD$ четырёхугольника $ABCD$ является диаметром окружности, описанной около него, $\angle ABC = 108^\circ$, $\angle BCD = 132^\circ$. Найдите углы $BAD$, $ADC$, $CAD$, $BDA$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Также, так как сторона $AD$ является диаметром окружности, вписанные углы, опирающиеся на этот диаметр ($\angle ABD$ и $\angle ACD$), являются прямыми и равны $90^\circ$.

BAD

Углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ являются противолежащими углами вписанного четырёхугольника $ABCD$. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$
Используя данное значение $\angle BCD = 132^\circ$, находим $\angle BAD$:
$\angle BAD + 132^\circ = 180^\circ$
$\angle BAD = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$
Ответ: $\angle BAD = 48^\circ$.

ADC

Углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ также являются противолежащими, и их сумма равна $180^\circ$.
$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$
Используя данное значение $\angle ABC = 108^\circ$, находим $\angle ADC$:
$108^\circ + \angle ADC = 180^\circ$
$\angle ADC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$
Ответ: $\angle ADC = 72^\circ$.

CAD

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Угол $\angle ACD$ опирается на диаметр $AD$, следовательно, он прямой: $\angle ACD = 90^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$
Подставим ранее найденное значение $\angle ADC = 72^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$:
$\angle CAD + 72^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle CAD + 162^\circ = 180^\circ$
$\angle CAD = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$
Ответ: $\angle CAD = 18^\circ$.

BDA

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Угол $\angle ABD$ также опирается на диаметр $AD$, поэтому он прямой: $\angle ABD = 90^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle BDA + \angle BAD + \angle ABD = 180^\circ$
Подставим ранее найденное значение $\angle BAD = 48^\circ$ и $\angle ABD = 90^\circ$:
$\angle BDA + 48^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle BDA + 138^\circ = 180^\circ$
$\angle BDA = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$
Ответ: $\angle BDA = 42^\circ$.

Условие 2015-2022.

346. Сторона AD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него, $\angle ABC = 108^\circ$, $\angle BCD = 132^\circ$. Найдите углы $\angle BAD$, $\angle ADC$, $\angle CAD$, $\angle BDA$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).