Номер 344, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 344, страница 66.

Условие 2023.

344. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства воспользуемся свойством описанного четырехугольника. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Рассмотрим прямоугольник. Прямоугольник является выпуклым четырехугольником. Обозначим длины его смежных сторон как $a$ и $b$. Тогда длины его четырех сторон, взятые последовательно, равны $a$, $b$, $a$, $b$.

Противоположными сторонами в прямоугольнике являются пары сторон с длинами ($a$, $a$) и ($b$, $b$).

По условию, в данный прямоугольник можно вписать окружность. Следовательно, для него должно выполняться свойство описанного четырехугольника: сумма длин одной пары противоположных сторон должна быть равна сумме длин другой пары.

Запишем это в виде равенства:

$a + a = b + b$

Упростим полученное выражение:

$2a = 2b$

Разделив обе части равенства на 2, получаем:

$a = b$

Это означает, что смежные стороны прямоугольника равны. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, по определению является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

344. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).