Номер 341, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 341, страница 66.

Условие 2023.

341. Можно ли вписать окружность в параллелограмм, который не является ромбом?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны. Это свойство также известно как теорема Пито.

Рассмотрим произвольный параллелограмм $ABCD$. Пусть длины его смежных сторон равны $a$ и $b$. Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны равны, мы имеем $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$.

Чтобы в этот параллелограмм можно было вписать окружность, должно выполняться условие равенства сумм противолежащих сторон:

$AB + CD = BC + DA$

Подставим в это равенство длины сторон нашего параллелограмма:

$a + a = b + b$

Упростив, получаем:

$2a = 2b$

Отсюда следует, что $a = b$.

Это означает, что в параллелограмм можно вписать окружность только в том случае, если его смежные стороны равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Следовательно, если параллелограмм не является ромбом, то его смежные стороны не равны ($a \neq b$), условие для вписанной окружности не выполняется, и вписать в него окружность нельзя.

Ответ: Нет, нельзя. Вписать окружность в параллелограмм можно тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Условие 2015-2022.

341. Можно ли вписать окружность в параллелограмм, который не является ромбом?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).