Номер 334, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 334, страница 66.

Условие 2023.

334. Можно ли описать окружность около ромба, не являющегося квадратом?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Окружность можно описать около выпуклого четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Рассмотрим ромб. Ромб является параллелограммом, у которого все стороны равны. Как и в любом параллелограмме, противолежащие углы ромба равны. Пусть два противолежащих угла ромба равны $ \alpha $, а два других противолежащих угла равны $ \beta $.

Если предположить, что около ромба можно описать окружность, то сумма его противолежащих углов должна быть равна $180^\circ$. То есть, должны выполняться следующие равенства:

$ \alpha + \alpha = 180^\circ $

$ \beta + \beta = 180^\circ $

Из первого уравнения получаем $ 2\alpha = 180^\circ $, откуда $ \alpha = 90^\circ $. Аналогично из второго уравнения получаем $ 2\beta = 180^\circ $, откуда $ \beta = 90^\circ $.

Таким образом, если около ромба можно описать окружность, то все его углы должны быть прямыми. Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом.

В условии задачи спрашивается о ромбе, который не является квадратом. У такого ромба углы не равны $90^\circ$, а значит, сумма его противолежащих углов не равна $180^\circ$. Следовательно, описать окружность около ромба, не являющегося квадратом, невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

Условие 2015-2022.

334. Можно ли описать окружность около ромба, не являющегося квадратом?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).