Номер 330, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 330, страница 65.

Условие 2023.

330. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если его углы $A$, $B$, $C$ и $D$ соответственно равны:

1) $90^\circ$, $90^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$;

2) $90^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$, $100^\circ$;

3) $50^\circ$, $70^\circ$, $130^\circ$, $110^\circ$ ?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов была равна $180^\circ$. То есть для четырёхугольника $ABCD$ должны выполняться равенства: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Если выполняется одно из этих равенств, то второе выполняется автоматически, так как сумма всех углов четырёхугольника равна $360^\circ$.

Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.

1) Даны углы: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 80^\circ$, $\angle D = 100^\circ$.

Найдём сумму противолежащих углов $A$ и $C$:

$\angle A + \angle C = 90^\circ + 80^\circ = 170^\circ$.

Так как $170^\circ \neq 180^\circ$, условие не выполняется. Следовательно, описать окружность около этого четырёхугольника нельзя.

(Проверка второй пары углов: $\angle B + \angle D = 90^\circ + 100^\circ = 190^\circ \neq 180^\circ$)

Ответ: нет.

2) Даны углы: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 80^\circ$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle D = 100^\circ$.

Найдём сумму противолежащих углов $A$ и $C$:

$\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Условие выполняется. Проверим также вторую пару противолежащих углов $B$ и $D$:

$\angle B + \angle D = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.

Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, описать окружность около этого четырёхугольника можно.

Ответ: да.

3) Даны углы: $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 130^\circ$, $\angle D = 110^\circ$.

Найдём сумму противолежащих углов $A$ и $C$:

$\angle A + \angle C = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ$.

Условие выполняется. Проверим вторую пару противолежащих углов $B$ и $D$:

$\angle B + \angle D = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.

Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, описать окружность около этого четырёхугольника можно.

Ответ: да.

Условие 2015-2022.

330. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если его углы $A, B, C$ и $D$ соответственно равны:

1) $90^\circ, 90^\circ, 80^\circ, 100^\circ?$

2) $90^\circ, 80^\circ, 90^\circ, 100^\circ?$

3) $50^\circ, 70^\circ, 130^\circ, 110^\circ?$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).