Номер 331, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 331, страница 65.

Условие 2023.

331. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если его углы $A, B, C$ и $D$ соответственно пропорциональны числам:

1) 3, 8, 11, 6;

2) 4, 5, 4, 2?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°. То есть, для четырехугольника $ABCD$ должно выполняться условие: $∠A + ∠C = 180°$ и $∠B + ∠D = 180°$. Так как сумма всех углов четырехугольника равна $360°$, достаточно проверить равенство для одной пары противолежащих углов.

1)

Пусть углы четырехугольника $∠A, ∠B, ∠C, ∠D$ пропорциональны числам 3, 8, 11, 6. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда $∠A = 3x$, $∠B = 8x$, $∠C = 11x$ и $∠D = 6x$.

Найдем сумму противолежащих углов:

$∠A + ∠C = 3x + 11x = 14x$

$∠B + ∠D = 8x + 6x = 14x$

Поскольку суммы противолежащих углов равны ($∠A + ∠C = ∠B + ∠D$), а в сумме все четыре угла дают $360°$, то каждая из этих сумм должна быть равна $360° / 2 = 180°$.

Для проверки найдем $x$. Сумма всех углов четырехугольника: $3x + 8x + 11x + 6x = 360°$.

$28x = 360°$

$x = \frac{360°}{28} = \frac{90°}{7}$

Тогда $∠A + ∠C = 14x = 14 \cdot \frac{90°}{7} = 2 \cdot 90° = 180°$.

Условие выполняется, значит, около данного четырехугольника можно описать окружность.

Ответ: да, можно.

2)

Пусть углы четырехугольника $∠A, ∠B, ∠C, ∠D$ пропорциональны числам 4, 5, 4, 2. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда $∠A = 4x$, $∠B = 5x$, $∠C = 4x$ и $∠D = 2x$.

Найдем сумму противолежащих углов:

$∠A + ∠C = 4x + 4x = 8x$

$∠B + ∠D = 5x + 2x = 7x$

Так как $8x \neq 7x$, то и $∠A + ∠C \neq ∠B + ∠D$. Это уже означает, что суммы противолежащих углов не могут быть равны 180°, так как они не равны между собой.

Для полной проверки найдем значения этих сумм. Сумма всех углов: $4x + 5x + 4x + 2x = 360°$.

$15x = 360°$

$x = \frac{360°}{15} = 24°$

Тогда $∠A + ∠C = 8x = 8 \cdot 24° = 192°$.

Поскольку $192° \neq 180°$, условие для четырехугольника, вписанного в окружность, не выполняется.

Ответ: нет, нельзя.

Условие 2015-2022.

331. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если его углы $A, B, C$ и $D$ соответственно пропорциональны числам:

1) 3, 8, 11, 6;

2) 4, 5, 4, 2?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).