Номер 328, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 328, страница 65.

Условие 2023.

328. Начертите равнобокую трапецию с большим основанием 6 см, боковой стороной 4 см и углом $60^\circ$. Впишите в неё окружность.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Прежде чем приступить к построению, необходимо выполнить анализ и вычисления, чтобы убедиться в возможности построения и определить все параметры фигуры.

1. Анализ и вычисления

По условию, дана равнобокая трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD = 6$ см, боковыми сторонами $AB = CD = 4$ см и углом при большем основании $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Окружность можно вписать в четырехугольник только в том случае, если суммы длин его противолежащих сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма длин оснований должна быть равна сумме длин боковых сторон: $AD + BC = AB + CD$.

Найдем длину меньшего основания $BC$. Для этого проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$, прилежащий к углу $A$, равен:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, отрезок, отсекаемый второй высотой $CK$, будет таким же: $KD = AH = 2$ см.
Тогда меньшее основание $BC$ можно найти как:
$BC = AD - AH - KD = 6 - 2 - 2 = 2$ см.

Теперь проверим условие для вписанной окружности:
Сумма оснований: $AD + BC = 6 + 2 = 8$ см.
Сумма боковых сторон: $AB + CD = 4 + 4 = 8$ см.
Поскольку суммы равны ($8=8$), в данную трапецию можно вписать окружность.

Также найдем высоту трапеции $h$, которая понадобится для нахождения радиуса вписанной окружности. Из того же треугольника $ABH$:
$h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Построение

Теперь, когда все параметры известны, можно приступить к построению.

Начертите равнобокую трапецию с большим основанием 6 см, боковой стороной 4 см и углом 60°

Построение выполняется с помощью линейки, транспортира и циркуля.

1. С помощью линейки постройте отрезок $AD$ длиной 6 см.
2. В точке $A$ с помощью транспортира отложите угол $60^\circ$ и проведите луч. На этом луче отложите отрезок $AB$ длиной 4 см.
3. В точке $D$ аналогично отложите угол $60^\circ$ и проведите луч. На этом луче отложите отрезок $DC$ длиной 4 см.
4. Соедините точки $B$ и $C$ отрезком.

Полученная фигура $ABCD$ — искомая равнобокая трапеция.

Ответ: Трапеция построена согласно приведенному алгоритму.

Впишите в неё окружность

Чтобы вписать окружность, нужно найти ее центр и радиус.

1. Радиус $r$ вписанной окружности равен половине высоты трапеции. Из вычислений выше, $h = 2\sqrt{3}$ см, следовательно, радиус:
   $r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см (приблизительно $1,73$ см).
2. Центр вписанной окружности $O$ в равнобокой трапеции лежит на середине ее высоты, соединяющей середины оснований (оси симметрии).
3. Найдите середину основания $AD$ (точка $M$) и середину основания $BC$ (точка $K$).
4. Соедините точки $M$ и $K$. Отрезок $MK$ является высотой и осью симметрии трапеции.
5. Найдите середину отрезка $MK$. Эта точка $O$ является центром вписанной окружности.
6. С помощью циркуля, установив его ножку в точку $O$, проведите окружность радиусом $r = \sqrt{3}$ см.

Построенная окружность будет касаться всех четырех сторон трапеции.

Ответ: Окружность вписана в трапецию согласно приведенному алгоритму.

Условие 2015-2022.

328. Начертите равнобокую трапецию с большим основанием 6 см, боковой стороной 4 см и углом $60^\circ$. Впишите в неё окружность.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).