Номер 332, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 332, страница 65.

Условие 2023.

332. Докажите, что можно описать окружность около:

1) любого прямоугольника;

2) любой равнобокой трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) любого прямоугольника;

Для доказательства того, что около любого прямоугольника можно описать окружность, можно использовать два подхода.

Способ 1: Через свойство углов вписанного четырехугольника.
Основным свойством четырехугольника, вписанного в окружность, является то, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Чтобы доказать, что около прямоугольника можно описать окружность, достаточно показать, что он обладает этим свойством.

Пусть дан произвольный прямоугольник $ABCD$. По определению прямоугольника, все его внутренние углы равны $90^\circ$.
$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Проверим суммы противолежащих углов:
$\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Поскольку суммы обеих пар противолежащих углов равны $180^\circ$, около любого прямоугольника можно описать окружность.

Способ 2: Через свойство диагоналей прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ и его диагонали $AC$ и $BD$. По свойству прямоугольника, его диагонали равны между собой и в точке пересечения $O$ делятся пополам.

Из этого следует, что отрезки, соединяющие точку пересечения диагоналей с вершинами, равны: $AO = OC = BO = OD$.

Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин ($A, B, C, D$) прямоугольника. Следовательно, точка $O$ является центром окружности, которая проходит через все четыре вершины. Радиус этой окружности равен половине длины диагонали.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) любой равнобокой трапеции.

Докажем, что около любой равнобокой (равнобедренной) трапеции можно описать окружность. Воспользуемся тем же свойством, что и в первом пункте: окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Пусть $ABCD$ — равнобокая трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB = CD$.

По свойству равнобокой трапеции, углы при каждом основании равны:
$\angle A = \angle D$
$\angle B = \angle C$

Также, по свойству любой трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$ (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей). Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Теперь проверим суммы противолежащих углов трапеции $ABCD$:
1. Сумма углов $\angle A$ и $\angle C$. Так как $\angle B = \angle C$ (по свойству равнобокой трапеции), мы можем подставить $\angle C$ вместо $\angle B$ в равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Получаем: $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
2. Сумма углов $\angle B$ и $\angle D$. Так как $\angle A = \angle D$ (по свойству равнобокой трапеции), мы можем подставить $\angle D$ вместо $\angle A$ в то же равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Получаем: $\angle D + \angle B = 180^\circ$.

Поскольку суммы противолежащих углов ($\angle A + \angle C$ и $\angle B + \angle D$) равны $180^\circ$, около любой равнобокой трапеции можно описать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

332. Докажите, что можно описать окружность около:

1) любого прямоугольника;

2) любой равнобокой трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).