Номер 8, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 8, страница 65.

Условие 2023.

8. При каком условии в четырёхугольник можно вписать окружность?

Решение 6 (2023).

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Это свойство для выпуклых четырёхугольников является теоремой и называется теоремой Пито.

Если обозначить последовательные стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ как $a=AB$, $b=BC$, $c=CD$ и $d=DA$, то условие возможности вписать в него окружность выражается формулой:

$a + c = b + d$

Доказательство необходимости («Если можно вписать, то суммы равны»):

Предположим, что в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Пусть она касается его сторон $AB, BC, CD, DA$ в точках $K, L, M, N$ соответственно.

По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Следовательно, мы имеем следующие равенства отрезков:
$AK = AN$
$BK = BL$
$CL = CM$
$DM = DN$

Длины сторон четырёхугольника можно выразить как суммы этих отрезков:
$a = AB = AK + KB$
$b = BC = BL + LC$
$c = CD = CM + MD$
$d = DA = DN + NA$

Теперь найдём суммы длин противолежащих сторон. Сумма сторон $a$ и $c$:

$a + c = (AK + KB) + (CM + MD)$

Сумма сторон $b$ и $d$:

$b + d = (BL + LC) + (DN + NA)$

Воспользуемся равенствами отрезков касательных, чтобы сравнить эти две суммы. Заменим отрезки в сумме $b+d$ на равные им:

$b + d = (BL) + (LC) + (DN) + (NA) = (KB) + (CM) + (MD) + (AK)$

Переставив слагаемые, получим:

$b + d = AK + KB + CM + MD = (AK + KB) + (CM + MD)$

Как мы видим, это выражение в точности совпадает с выражением для суммы $a+c$. Таким образом, мы доказали, что $a + c = b + d$.

Достаточность («Если суммы равны, то можно вписать»):

Обратное утверждение также является верным: если в выпуклом четырёхугольнике суммы длин противолежащих сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Ответ: В четырёхугольник можно вписать окружность при условии, что суммы длин его противолежащих сторон равны.

Условие 2015-2022.

8. При каком условии в четырёхугольник можно вписать окружность?