Номер 4, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 4, страница 65.

Условие 2023.

4. При каком условии около четырёхугольника можно описать окружность?

Решение 6 (2023).

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Такой четырёхугольник называется вписанным в окружность или циклическим.

Теорема (критерий вписанного четырёхугольника)

Выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$ с углами $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$. Условие можно записать в виде формулы:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

или, что эквивалентно:

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Если выполняется одно из этих равенств, то второе выполняется автоматически, поскольку сумма всех углов четырёхугольника равна $360^\circ$.

Доказательство:

Доказательство состоит из двух частей: необходимости (если четырёхугольник вписан, то сумма углов равна $180^\circ$) и достаточности (если сумма углов равна $180^\circ$, то он может быть вписан).

1. Необходимость

Докажем, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Пусть четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Его углы являются вписанными углами этой окружности. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $\angle A$ опирается на дугу $BCD$, следовательно, его величина равна $\angle A = \frac{1}{2} \cup BCD$.

Противолежащий ему угол $\angle C$ опирается на дугу $DAB$, и его величина равна $\angle C = \frac{1}{2} \cup DAB$.

Сложим величины этих углов:

$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cup BCD + \frac{1}{2} \cup DAB = \frac{1}{2} (\cup BCD + \cup DAB)$

Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$. Таким образом:

$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$

Аналогично доказывается, что и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

2. Достаточность

Докажем, что если сумма противолежащих углов выпуклого четырёхугольника равна $180^\circ$, то около него можно описать окружность.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполняется равенство $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Проведём окружность через три его вершины, например, через точки $A, B, D$. Это всегда возможно, так как они не лежат на одной прямой.

Докажем методом от противного, что четвёртая вершина $C$ также лежит на этой окружности. Предположим, что точка $C$ не лежит на этой окружности. Тогда она может находиться либо внутри, либо вне окружности.

Пусть точка $C$ лежит внутри окружности. Продолжим отрезок $BC$ до пересечения с окружностью в точке $C'$. Четырёхугольник $ABC'D$ вписан в эту окружность. Согласно доказанному свойству (необходимость), сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle BC'D = 180^\circ$. По условию, у нас также есть $\angle A + \angle BCD = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle BC'D = \angle BCD$.

Рассмотрим треугольник $CDC'$. Угол $\angle BCD$ является для него внешним. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle BC'D + \angle C'DC$. Поскольку $\angle C'DC$ - это угол треугольника, его мера положительна. Следовательно, $\angle BCD > \angle BC'D$. Это противоречит полученному ранее равенству. Значит, точка $C$ не может лежать внутри окружности.

Аналогично, если предположить, что точка $C$ лежит вне окружности, и отрезок $BC$ пересекает окружность в точке $C'$, мы снова придём к противоречию ($\angle BCD < \angle BC'D$).

Таким образом, единственно возможный случай — точка $C$ лежит на окружности, проходящей через точки $A, B, D$. Это означает, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Ответ: Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Условие 2015-2022.

4. При каком условии около четырёхугольника можно описать окружность?