Номер 7, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 7, страница 65.

Условие 2023.

7. Каким свойством обладают стороны описанного около окружности четырёхугольника?

Решение 6 (2023).

Основное свойство сторон описанного около окружности четырёхугольника, известное как теорема Пито, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны.

Рассмотрим доказательство этого свойства. Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в который вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и DA как K, L, M и N соответственно.

Согласно свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, отрезки этих касательных от вершины до точек касания равны. Следовательно, мы имеем следующие равенства:
AK = AN
BK = BL
CL = CM
DM = DN

Теперь выразим длины сторон четырёхугольника через длины этих отрезков:
$AB = AK + KB$
$BC = BL + LC$
$CD = CM + MD$
$DA = DN + NA$

Сравним суммы длин противоположных сторон.
Сумма сторон AB и CD: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)$.
Сумма сторон BC и DA: $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA)$.

Используя ранее установленные равенства отрезков, заменим слагаемые в первой сумме:
$AB + CD = (AN + BL) + (CL + DN)$
Перегруппируем слагаемые: $AB + CD = (BL + CL) + (AN + DN)$.
Мы видим, что это выражение равно $BC + DA$.

Таким образом, для любого описанного четырёхугольника доказано равенство:
$AB + CD = BC + DA$

Это свойство является также и признаком описанного четырёхугольника: если в выпуклом четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Ответ: Суммы длин противоположных сторон описанного около окружности четырёхугольника равны. Если обозначить последовательные стороны четырёхугольника как a, b, c, d, то выполняется равенство: $a + c = b + d$.

Условие 2015-2022.

7. Каким свойством обладают стороны описанного около окружности четырёхугольника?