Номер 335, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 335, страница 66.

Условие 2023.

335. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AB = 12 \text{ см}$, $\angle CAD = 30^{\circ}$. Найдите радиус окружности, описанной около данного прямоугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Центр окружности, описанной около прямоугольника, находится в точке пересечения его диагоналей, а диаметр этой окружности равен длине диагонали прямоугольника. Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Проведём диагональ $AC$. Треугольник $ACD$ является прямоугольным, так как угол $\angle D = 90^\circ$ по свойству прямоугольника.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно, сторона $CD = AB = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ нам известен катет $CD = 12$ см и противолежащий ему угол $\angle CAD = 30^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $AC$ (которая является диагональю прямоугольника) через синус угла $\angle CAD$:
$\sin(\angle CAD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AC}$

Подставим известные значения в формулу:
$\sin(30^\circ) = \frac{12}{AC}$

Значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$. Получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{12}{AC}$

Отсюда выразим и найдем длину диагонали $AC$:
$AC = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Диагональ $AC$ является диаметром описанной окружности. Радиус $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Условие 2015-2022.

335. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $AB = 12$ см, $\angle CAD = 30^{\circ}$.

Найдите радиус окружности, описанной около данного прямоугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).