Номер 340, страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 340, страница 66.

Условие 2023.

340. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Рассмотрим ромб $ABCD$. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Обозначим длину стороны ромба буквой $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = a$.

Теперь проверим, выполняется ли для ромба условие равенства сумм противолежащих сторон:
Сумма сторон $AB$ и $CD$: $AB + CD = a + a = 2a$.
Сумма сторон $BC$ и $DA$: $BC + DA = a + a = 2a$.

Поскольку $AB + CD = BC + DA$, условие для вписанной окружности выполняется. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность.

Ответ: В любой ромб можно вписать окружность, так как, согласно свойству описанного четырехугольника, суммы его противолежащих сторон равны.

Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб?

Центром окружности, вписанной в многоугольник, является точка пересечения биссектрис его углов. Эта точка обладает свойством равноудаленности от всех сторон многоугольника.

У ромба есть свойство: его диагонали являются биссектрисами его углов. То есть диагональ $AC$ делит пополам углы $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ делит пополам углы $\angle B$ и $\angle D$.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то точка их пересечения является точкой пересечения всех биссектрис ромба. Следовательно, именно эта точка и будет являться центром вписанной в ромб окружности.

Ответ: Центром окружности, вписанной в ромб, является точка пересечения его диагоналей.

Условие 2015-2022.

340. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Какая точка является центром окружности, вписанной в ромб?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).